محاسبه مرکز جرم و مرکز سختی سازه؛ با حل 4 مثال کاربردی در ایتبس(آپدیت 1405)

بررسی آسیب‌های سازه‌ها در اثر زلزله نشان داده است که ساختمان‌های نامتقارن، آسیب‌پذیری بیشتری نسبت به ساختمان‌های متقارن دارند. این عدم تقارن می‌تواند ناشی از توزیع نامتقارن جرم در دیافراگم‌ها یا توزیع نامناسب مقاومت و سختی در اعضای سیستم باربر جانبی باشد.

یکی از عوامل مهم در بررسی رفتار لرزه‌ای سازه، فاصله بین مرکز جرم و مرکز سختی است. این فاصله که به آن برون‌مرکزی گفته می‌شود، می‌تواند باعث ایجاد پیچش در سازه و افزایش آسیب‌پذیری ساختمان در برابر زلزله شود.

در این مقاله، ابتدا با مفاهیم مرکز جرم و مرکز سختی آشنا می‌شویم و روش محاسبه مرکز جرم و مرکز سختی را یاد می‌گیریم. سپس با حل مثال‌های کاربردی در ETABS، نحوه بررسی محل این مراکز، تشخیص و کاهش نامنظمی پیچشی و تنظیم مناسب سختی در پلان را آموزش می‌دهیم.

⌛ آخرین به روز رسانی: 9 شهریور 1405

📕 تغییرات به روز رسانی: آپدیت بر اساس ویرایش پنجم آیین نامه 2800

1.تعریف اولیه و پایه‌ای از مفهوم مرکز جرم و مرکز سختی بر مبنای آئین‌نامه‌ها

❓اولین سؤالی که باید از خود بپرسیم این است: تفاوت اصلی مرکز جرم، مرکز سختی، مرکز سطح و مرکز ثقل در تحلیل سازه‌ چیست؟

مرکز جرم محل تمرکز جرم و اینرسی سازه است، مرکز ثقل محل اثر وزن سازه است و در بیشتر مسائل مهندسی با مرکز جرم تقریباً یکی در نظر گرفته می‌شود، مرکز سطح فقط به هندسه مقطع مربوط است و محل میانگین مساحت را نشان می‌دهد و مرکز سختی نقطه‌ای است که اگر بار جانبی از آن عبور کند، سازه بدون پیچش عمده تغییر مکان می‌دهد.

بنابراین تفاوت اصلی این چهار مرکز در این است که هرکدام به یک ویژگی متفاوت از سازه مربوطند: جرم، وزن، هندسه و سختی. بطورکلی مفاهیم مرکز جرم، مرکز سختی، مرکز سطح و مرکز ثقل مفاهیمی کاربردی جهت طراحی سازه ­ها و به منظور جلوگیری از پیچش سازه­ ها می­باشند که در ادامه تعریف می‌گردند.

1.1. مرکز جرم چیست؟

از لحاظ فیزیکی و دینامیکی ساده ترین تعریفی که از مرکز جرم می توان ارائه نمود این است که مرکز جرم یک ساختمان یا به‌طورکلی یک جسم در واقع نقطه تعادل آن است که این تعریف بیانگر این است که درصورتی‌که ذره ای در این نقطه قرار گیرد دارای تعادل ایستا خواهد بود.

به‌عبارتی‌دیگر مرکز جرم نقطه ای است که در آن توزیع جرم در تمامی جهات برابر می باشد. به طور مثال جهت یافتن مرکز جرم یک میله کافی است نقطه‌ای از آن پیدا شود که با قرار دادن تنها یک‌دست یا یک انگشت در زیر آن نقطه بتوان تعادل آن میله را حفظ نمود.

همچنین توجه به این نکته ضروری است که مرکز جرم یک جسم همیشه در خود جسم قرار نمی گیرد؛ به طور مثال مرکز جرم یک حلقه در مرکز آن است، نقطه‌ای خارج از خود جسم. به‌طورکلی در صورت توزیع برابر جرم در یک جسم با هندسه منظم مانند مربع، مرکز جرم در مرکز جسم قرار خواهد گرفت. جهت روشن تر شدن این موضوع مرکز جسم تعدادی از اشکال به‌صورت شکل زیر آورده شده است:

شکل 1 مرکز جرم تعدادی از اشکال هندسی رایج

شکل 2 مرکز جرم یک جارو

مفهوم مرکز جرم طبقه (Story Center of Mass) در استاندارد 2800 ویرایش 5  بدین صورت آمده است:

نکته: استفاده از مساحت پلان به‌تنهایی فقط مرکز سطح هندسی را مشخص می‌کند، در حالی که مرکز جرم تابع توزیع واقعی وزن در سازه است. در ساختمان‌های واقعی به دلیل وجود المان‌های سنگین متمرکز (مانند دیوارهای برشی و هسته آسانسور)، تفاوت در وزن دیوارهای نما و تیغه‌ها، تغییر ضخامت سقف و اختلاف در بارهای زنده کاربری‌های مختلف، جرم طبقه یکنواخت نیست. بنابراین، اتکا به مساحت پلان باعث خطای محاسباتی در تعیین مرکز جرم، محاسبه نادرست خروج از مرکزیت لرزه‌ای و نادیده گرفته شدن لنگرهای پیچشی خطرناک در زلزله می‌شود.

1.1.1. محاسبه مرکز جرم

درصورتی‌که مختصات ذرات درجهت x به‌صورت x_i و جرم آن‌ها با m_i نمایش داده شود، آنگاه برای محاسبه مختصات مرکز جرم برای ذراتی مانند شکل 3 بایستی طبق رابطه ای که در ادامه اشاره می شود، عمل نمود:

شکل 3- نحوه محاسبه مختصات مرکز جرم برای چند ذره با جرم های متفاوت

در فرمول مرکز جرمی که آورده شده است، منظور از نمادها به شرح زیر می‌باشد:

X_cm: مختصات مرکز جرم درجهت x

m_i: جرم هر ذره

x_i: مختصات هر ذره

M: مجموع جرم ذرات

❓اگر جرم یک جزء در فاصله بیشتری از مبدأ قرار گیرد، اثر آن بر مرکز جرم چگونه تغییر می‌کند؟

اگر جرم (یا مساحت) یک جزء در فاصله بیشتری از مبدأ قرار بگیرد، اثر آن بر جابه‌جایی مرکز جرم بیشتر می‌شود چون مرکز جرم بر اساس «میانگین وزنیِ مکان‌ها» حساب می‌شود و سهم هر جزء در صورت کسر به شکل x_im_i و y_im_i یا در مرکز سطح وارد می‌شود؛ بنابراین هرچه فاصله x_i یا y_i بزرگ‌تر باشد، همان جرم (با مقدار ثابت) لنگر بیشتری ایجاد می‌کند و مرکز جرم را بیشتر به سمت خود می‌کشد. البته اگر چند جزء در جهات مختلف باشند، اثرها با هم جمع می‌شوند و ممکن است تا حدی همدیگر را خنثی کنند، اما در حالت کلی «دورتر بودن از مبدأ» یعنی «قدرت بیشتر برای تغییر دادن محل مرکز جرم.»

2.1. مفهوم مرکز سختی

طبق تعریف آیین ­نامه 2800ویرایش 5 بخش تعاریف صفحه “ط”، مرکز سختی یک طبقه از ساختمان، نقطه­ ای است که در آن تنها تغییر شکل جانبی انتقالی رخ داده و هیچ­گونه پیچشی در آن ملاحظه نشود. از این‌رو مرکز سختی وابستگی مستقیمی به نوع سیستم باربر جانبی سازه اعم از قاب خمشی، دیوار برشی و یا مهاربندی دارد.

البته باید به این موضوع توجه کرد که برای تعیین مرکز سختی ساختمان نمی‌توان از مقاومت اعضای آن‌ها استفاده کرد بلکه باید از سختی اعضا استفاده شود؛ زیرا مرکز سختی محل توزیع تغییرشکل‌پذیری جانبی سازه است، نه محل ظرفیت نهایی تحمل نیرو؛ یعنی ما می‌خواهیم ببینیم سازه تحت بار جانبی کدام‌طرف سفت‌تر است و کدام عضو بیشتر در برابر تغییرمکان جانبی مشارکت می‌کند و این دقیقاً با سختی سنجیده می‌شود، نه مقاومت. مقاومت فقط می‌گوید هر عضو تا چه نیرویی را قبل از شکست تحمل می‌کند، اما ممکن است عضوی مقاومت زیاد داشته باشد ولی در جابه‌جایی اولیه سهم کمی در کنترل تغییرمکان داشته باشد؛ در حالی که سختی مشخص می‌کند نیروی جانبی چگونه بین اعضا پخش می‌شود و سازه به کدام سمت تمایل به چرخش یا جابه‌جایی دارد.

به همین دلیل برای تعیین مرکز سختی باید از سختی اعضا استفاده کرد، چون این مرکز بر اساس پاسخ الاستیک و توزیع واقعی تغییرمکان‌ها تعریف می‌شود، نه بر اساس ظرفیت نهایی اعضا. برای بررسی دقیق‌تر تفاوت سختی و مقاومت اعضا، به مقالهً تفسیر تفاوت سختی و مقاومت به همراه بررسی عوامل موثر در افزایش سختی و مقاومت سازه مراجعه کنید.

وقتی نیروی زلزله به ساختمان وارد می‌شود، تصور کنید این نیرو دقیقاً از «مرکز جرم» (جایی که تمام وزن ساختمان در آن متمرکز است) اعمال می‌شود. از طرف دیگر، ساختمان در برابر این نیرو مقاومت می‌کند؛ مقاومتی که توسط ستون‌ها و دیوارها ایجاد می‌شود و برآیند کل این مقاومت در نقطه‌ای به نام «مرکز سختی» جمع شده است. پیچش زمانی رخ می‌دهد که این دو نقطه بر هم منطبق نباشند: نیروی زلزله تلاش می‌کند ساختمان را از مرکز جرم حرکت دهد، اما ساختمان از مرکز سختی مقاومت می‌کند.

این فاصله (که به آن «خروج از مرکزیت» می‌گویند)، یک بازوی گشتاور ایجاد می‌کند. دقیقاً مثل باز کردن در با دستگیره، این بازوی گشتاور باعث می‌شود نیروی زلزله علاوه بر جابه‌جا کردن ساختمان، آن را حول مرکز سختی بچرخاند؛ یعنی ساختمان به جای اینکه فقط در مسیر مستقیم حرکت کند، شروع به دوران می‌کند.

هرچه این فاصله (خروج از مرکزیت) بیشتر باشد، لنگر پیچشی بزرگ‌تری ایجاد شده و فشار ناگهانی و نامتقارنی به ستون‌ها و دیوارهای دورتر وارد می‌شود که می‌تواند عامل اصلی آسیب‌های جدی در زلزله باشد. البته باید به این مسئله نیز توجه کرد که منطبق بودن مرکز جرم و مرکز سختی، نامنظمی پیچشی را بطور قطعی حذف نمی‌کند و فقط پیچش ناشی از برون‌مرکزی هندسی را کم می‌کند. جهت روشن‌تر شدن تفاوت میان مفهوم مرکز سختی و مرکز جرم، شکل زیر را مشاهده کنید:

شکل 4- ایجاد پیچش در اثر فاصله بین مرکز جرم و مرکز سختی

همان‌گونه که در شکل فوق ملاحظه می­شود در حالتی که تقارن در سیستم باربر جانبی وجود دارد، مرکز جرم و مرکز سختی بر روی یکدیگر منطبق می­شوند ولی در حالتی که مانند شکل سمت راست، سیستم باربر جانبی دارای عدم تقارن می­باشد، باعث می­شود که این دو روی یکدیگر منطبق نشده و پیچش در سازه رخ دهد.

نکته 1: ترک‌خوردگی اعضای بتنی سختی مؤثر تیرها، ستون‌ها و دیوارهای برشی را کاهش می‌دهد. اگر میزان ترک‌خوردگی در بخش‌های مختلف سازه یکسان نباشد، توزیع سختی نامتقارن شده و مرکز سختی به سمت اعضای سالم‌تر و سخت‌تر جابه‌جا می‌شود. بنابراین مرکز سختی واقعی سازه ممکن است با مقدار محاسبه‌شده بر اساس مقاطع سالم متفاوت باشد و خروج از مرکزیت و پیچش سازه را افزایش دهد.

نکته 2: افزایش سختی دیوار برشی در یک سمت پلان باعث می‌شود مرکز سختی طبقه به سمت همان دیوار یا آن بخش از پلان جابه‌جا شود؛ زیرا آن ناحیه در برابر تغییرمکان جانبی مقاومت بیشتری از خود نشان می‌دهد و سهم بزرگ‌تری در تحمل نیروی زلزله می‌گیرد. هرچه اختلاف سختی این دیوار با سایر قاب‌ها یا دیوارهای طبقه بیشتر باشد، این جابه‌جایی نیز محسوس‌تر خواهد بود. اگر مرکز جرم طبقه در محل قبلی باقی بماند، فاصله آن تا مرکز سختی افزایش یافته و خروج از مرکزیت در سازه، ایجاد یا تشدید می‌شود؛ در نتیجه سازه هنگام زلزله علاوه بر حرکت جانبی، تمایل بیشتری به پیچش حول مرکز سختی خواهد داشت.

شکل 5- نمونه‌ای از محل مرکز سختی سازه در سازه های دارای دیوار برشی

1.2.1. محاسبه مرکز سختی

جهت محاسبه مرکز سختی از رابطه زیر استفاده می شود:

در رابطه فوق:

X_CR و Y_CR: مختصات مرکز سختی درجهت x و y

K_y: سختی المانی که در راستای y قرار دارد.

K_x: سختی المانی که در راستای x قرار دارد.

X و Y: فاصله المان از مبدأ مختصات

می­باشند.

❓آیا مرکز سختی در پلان‌های هندسی متقارن همیشه در مرکز هندسی پلان قرار دارد؟

خیر، متقارن بودن هندسی پلان به‌تنهایی تضمین نمی‌کند که مرکز سختی دقیقاً در مرکز هندسی پلان باشد؛ مرکز سختی به محل و میزان سختی جانبی واقعی قاب‌ها، ستون‌ها، مهاربندها و دیوارهای برشی وابسته است، نه فقط به شکل ظاهری پلان. بنابراین اگر پلان مستطیلی یا مربعی متقارن باشد اما دیوارهای برشی، قاب‌های خمشی یا ستون‌های بزرگ‌تر در یک سمت ساختمان متمرکز شوند، مرکز سختی به سمت همان بخش سخت‌تر جابه‌جا خواهد شد.

مرکز سختی تنها زمانی با مرکز هندسی پلان منطبق می‌شود که علاوه بر تقارن هندسی، توزیع سختی سازه‌ای نیز در دو راستای پلان متقارن و متعادل باشد؛ برای مثال، دیوارهای برشی یا قاب‌های مقاوم در دو طرف پلان با سختی و فاصله‌های مشابه قرار گرفته باشند. برای کسب اطلاعات بیشتر درمورد نامنظمی پلان به مقاله بررسی نامنظمی در پلان مراجعه شود.

شکل 6- محل مرکز سختی سازه در دو حالت (به همراه تقارن سختی-بدون تقارن سختی)

❓تفاوت خروج از مرکزیت جرمی و خروج از مرکزیت سختی چیست؟

برای درک تفاوت خروج از مرکزیت جرمی و سختی، این نکات را در یک ساختار منسجم مدنظر داشته باشید: اول اینکه خروج از مرکزیت جرمی ناشی از توزیع نامتقارنِ بارهای مرده و زنده است که باعث می‌شود «مرکز جرم» از مرکز هندسی فاصله بگیرد؛ دوم، خروج از مرکزیت سختی حاصلِ چیدمان غیرمتقارنِ عناصر مقاوم (مانند دیوار برشی یا قاب‌های خمشی) است که «مرکز سختی» را از مرکز هندسی دور می‌کند؛ و در نهایت نکته حیاتی این است که پیچش سازه، نتیجه‌ی فاصله این دو نقطه از یکدیگر (بازوی گشتاور) است، نه صرفاً فاصله هر کدام از مرکز هندسی؛ بنابراین اگر این دو خروج از مرکزیت به گونه‌ای باشند که مراکز جرم و سختی بر هم منطبق شوند، لنگر پیچشی خنثی شده و رفتار سازه متقارن‌تر خواهد شد.

3.1. مرکز سطح چیست؟

مرکز سطح نقطه‌ای است که مساحت را به دو بخش مساوی تقسیم می‌کند. این نقطه برخلاف مرکز جرم، به وزن، چگالی یا جنس ماده وابسته نیست و تنها از روی هندسه و ابعاد شکل مانند طول، عرض، ارتفاع یا شعاع تعیین می‌شود. به بیان ساده، اگر یک شکل را از محل مرکز سطح آن نگه داریم، از نظر هندسی در تعادل قرار می‌گیرد. از مهم‌ترین ویژگی‌های مرکز سطح این است که فقط به هندسه وابسته است؛ بنابراین یک مربع، دایره یا مثلث، صرف‌نظر از اینکه از چه جنسی ساخته شده باشند، مرکز سطح ثابتی دارند. همچنین مرکز سطح در واقع میانگین ریاضی توزیع مساحت یا حجم است و در برخی اشکال مانند حلقه یا کمان، ممکن است این نقطه روی خود جسم قرار نگیرد بلکه محل دقیق آن در فضای داخلی شکل می‌باشد.

1.3.1. محاسبه مرکز سطح

مرکز سطح یک مفهوم هندسی محض است که نشان‌دهنده نقطه میانگین توزیع مساحت در یک شکل است. از دیدگاه تئوری مکانیک، محاسبه مرکز سطح به دو رویکرد کاملاً مجزا بر اساس هندسه مقطع تقسیم می‌شود:

1) اشکال منفرد (ساده): در اشکال هندسی ساده و منظم مانند مستطیل، مربع، دایره و مثلث، مرکز سطح به‌دلیل وجود تقارن هندسی یا روابط تحلیلی مستقیم، موقعیتی مشخص و ثابت نسبت به ابعاد شکل دارد و برای فرمول مرکز سطح نیازی به محاسبات پیچیده نیست. در شکل‌های دارای دو محور تقارن مانند مستطیل و دایره، مرکز سطح دقیقاً بر مرکز تقارن هندسی منطبق است؛ به‌طوری‌که در مستطیل در فاصله نصف عرض ​  و نصف ارتفاع ​​ و در دایره در مرکز آن قرار می‌گیرد. اما در شکل‌هایی که تنها یک محور تقارن دارند یا نامتقارن هستند مانند مثلث، مرکز سطح در نقطه تلاقی میانه‌ها واقع می‌شود که از دیدگاه ریاضی مرکز سطح مثلث در فاصله یک‌سوم ارتفاع از قاعده ​  و یک‌سوم طول قاعده از ضلع مجاور زاویه قائمه ​  قرار دارد.

2) اشکال مرکب: بسیاری از مقاطع ساختمانی (مانند مقاطع ناودانی، نبشی، مقاطع I شکل، Tشکل و جعبه‌ای) از ترکیب چندین شکل ساده هندسی به وجود آمده‌اند. در این حالت، به دلیل تغییر توزیع مساحت، مرکز سطح دیگر با یک نسبت ثابت به دست نمی‌آید و برای به‌دست اوردن فرمول مرکز سطح باید از فرمول میانگین وزنی مساحت‌ها و … اسفاده کرد..

نکته 1: مرکز سطح یک پلان همیشه با مرکز جرم ساختمان برابر نیست، زیرا مرکز سطح فقط بر اساس شکل هندسی پلان تعیین می‌شود، در حالی که مرکز جرم به نحوه توزیع واقعی جرم در ساختمان وابسته است. بنابراین اگر جرم در تمام بخش‌ها یکنواخت و متقارن باشد، این دو تقریباً منطبق می‌شوند؛ اما در صورت وجود تفاوت در مصالح، دیوارهای سنگین‌تر، تجهیزات یا بارگذاری نامتقارن، مرکز جرم از مرکز سطح فاصله می‌گیرد و این موضوع می‌تواند در تحلیل سازه، به‌ویژه در بررسی پیچش ناشی از زلزله، اهمیت زیادی داشته باشد.

نکته 2: در محاسبه مرکز سطح، بازشوها باید با علامت منفی وارد جدول شوند چون بازشوها جزو مساحت مؤثر شکل نیستند و در واقع از کل سطح کم می‌شوند. وقتی یک مقطع را به چند زیرسطح تقسیم می‌کنیم، برای به‌دست آوردن مرکز سطح از رابطهً میانگین وزنی مساحت‌ها استفاده می‌شود و اگر یک ناحیه حذف شده باشد، باید اثر آن را از محاسبات کم کنیم؛ به همین دلیل مساحت بازشو به‌صورت منفی در نظر گرفته می‌شود تا هم مجموع مساحت کل درست به‌دست آید و هم گشتاورهای اول سطح به‌درستی از شکل اصلی کسر شوند. اگر بازشو را مثبت وارد کنیم، نرم‌افزار یا محاسبه دستی آن قسمت را مانند یک بخش واقعی از مقطع حساب می‌کند و در نتیجه مرکز سطح و حتی مساحت نهایی اشتباه به‌دست می‌آید.

شکل 7- نحوه محاسبه مساحت سازه ها با وجود بازشو در پلان

❓وجود دیوار پیرامونی سنگین چه اثری بر مرکز جرم و مرکز سطح طبقه دارد؟

وجود دیوار پیرامونی سنگین معمولاً باعث جابه‌جایی مرکز جرم طبقه به سمت ناحیه‌ای می‌شود که جرم بیشتری در آن متمرکز شده است، اما مرکز سطح فقط در صورتی تغییر می‌کند که شکل هندسی یا ابعاد پلان تغییر کرده باشد. بنابراین اگر دیوار پیرامونی سنگین تنها جرم طبقه را افزایش دهد و تغییری در هندسه پلان ایجاد نکند، مرکز سطح ثابت می‌ماند ولی مرکز جرم پلان ممکن است از محل قبلی خود فاصله بگیرد. این اختلاف در تحلیل سازه اهمیت دارد به همین دلیل باید به محاسبه مرکز جرم پلان پرداخته شود؛ زیرا بی توجهی به این موضوع می‌تواند باعث افزایش خروج از مرکزیت و در نتیجه تشدید پیچش طبقه تحت بارهای جانبی مانند زلزله شود. برای درک بهتر این موضوع تصویر زیر آورده شده است.

شکل 8- تغییر محل مرکز جرم بر اثر وجود دیوار پیرامونی

❓چرا در تحلیل لرزه‌ای ساختمان، مرکز جرم اهمیت بیشتری از مرکز سطح دارد؟

در تحلیل لرزه‌ای ساختمان، مرکز جرم اهمیت بیشتری از مرکز سطح دارد چون نیروی زلزله به جرم ساختمان وارد می‌شود، نه به شکل هندسی آن. به بیان ساده، زلزله باعث ایجاد نیروی جانبی اینرسی در طبقات می‌شود و محل اثر این نیروها همان مرکز جرم هر طبقه است که باید برای بررسی این موضوع به کنترل مرکز جرم و مرکز سختی پرداخته شود. اگر مرکز جرم با مرکز سختی یا سایر مراکز مهم منطبق نباشد، در ساختمان خروج از مرکزیت ایجاد می‌شود و این موضوع می‌تواند باعث پیچش طبقه و افزایش تنش‌ها و تغییرمکان‌ها شود. اما مرکز سطح فقط یک مفهوم هندسی است و صرفاً محل میانگین مساحت پلان را نشان می‌دهد؛ بنابراین در تحلیل زلزله، تا وقتی توزیع جرم یکنواخت نباشد، مرکز سطح به‌تنهایی نمی‌تواند رفتار واقعی سازه را توضیح دهد. به همین دلیل، در طراحی لرزه‌ای، تعیین دقیق مرکز جرم برای محاسبه برش پایه، پیچش و کنترل نامنظمی‌ها بسیار مهم‌تر از مرکز سطح است.

4.1. مرکز ثقل چیست؟

مرکز ثقل، نقطه‌ای است که می‌توان کل وزن یک جسم یا سازه را در آن نقطه متمرکز فرض کرد؛ به‌طوری‌که اثر گرانشی کل جسم معادل اثر همان وزن متمرکز در این نقطه باشد. موقع محاسبه مرکز ثقل در جدول، انتخاب مبدأ مختصات فقط بر مقدار عددی مختصات مرکز ثقل اشکال هندسی اثر می‌گذارد و محل واقعی آن را در سازه تغییر نمی‌دهد؛ یعنی اگر مبدأ جابه‌جا شود، مقادیر  و  نیز نسبت به مبدأ جدید تغییر می‌کنند، اما موقعیت فیزیکی مرکز ثقل اشکال هندسی ثابت باقی می‌ماند. برای کاهش خطا در محاسبات دستی، معمولاً مبدأ را در گوشه پایین و چپ شکل قرار می‌دهند تا مختصات اجزا مثبت و جدول‌بندی ساده‌تر شود. همچنین در شکل‌های متقارن، قرار دادن مبدأ روی محور تقارن می‌تواند محاسبات را کوتاه‌تر کند. در مدل‌سازی سازه نیز تغییر مبدأ تنها مختصات گزارش‌شده را جابه‌جا می‌کند و بر فاصله واقعی بین مرکز جرم، مرکز سطح یا مرکز سختی و در نتیجه میزان خروج از مرکزیت و پیچش سازه اثری ندارد.

محاسبه دقیق مرکز ثقل، یکی از گام‌های کلیدی در تحلیل و طراحی سازه‌ها به شمار می‌رود؛ چرا که نادیده گرفتن موقعیت صحیح آن می‌تواند به بروز مشکلات جدی نظیر عدم تعادل، ناپایداری و در نهایت واژگونی سازه منجر شود. این محاسبات در فرآیند طراحی و ساخت انواع سازه‌های مهندسی، از جمله ساختمان‌ها، پل‌ها و ماشین‌آلات، نقش تعیین‌کننده‌ای ایفا می‌کنند.

 1.4.1. محاسبه مرکز ثقل

وقتی جسمی از چند ذره یا جزء با وزن‌های متفاوت تشکیل شده باشد، مختصات مرکز ثقل (Y_g,X_g) از میانگین وزنی خود وزن‌ها به دست می‌آید:

X_g:: مختصات مرکز ثقل در راستای محور X

Y_g: مختصات مرکز ثقل در راستای محور y

w_i: وزن هر بخش یا جزء از جسم

x_i : فاصله یا مختصات محل اثر وزن جزء i نسبت به مبدأ

y_i : مختصات عمودی محل اثر وزن جزء i نسبت به مبدأ

w_i∑ : مجموع وزن تمام اجزای جسم

❓در چه شرایطی می‌توان مرکز جرم و مرکز ثقل یک طبقه را منطبق درنظر گرفت؟

مرکز جرم و مرکز ثقل را وقتی می‌توان یکی در نظر گرفت که سازه آن‌قدر بزرگ نباشد که نیروی گرانش در بخش‌های مختلفش تفاوت زیادی داشته باشد. یعنی اگر شتاب گرانش در همه جای جسم تقریباً یکسان باشد، نقطه‌ای که جرم جسم در آن متعادل است همان نقطه‌ای می‌شود که وزن جسم هم در آن اثر می‌کند. به همین دلیل، در بیشتر سازه‌های معمولی این دو مرکز را برابر فرض می‌کنند، چون اختلاف آن‌ها آن‌قدر کم است که در محاسبات مهندسی تأثیر مهمی ندارد.

2. مثالی از نحوه محاسبه مرکز جرم و مرکز سختی برای 3 سازه مجزا با سیستم های باربری جانبی متفاوت

در ادامه به بررسی مثال هایی از نحوه محاسبه مرکز جرم و مرکز سختی در سه سازه با سیستم های باربری جانبی قاب خمشی، دیوار برشی و مهاربندی فولادی به طور جداگانه پرداخته می شود.

1.2. نحوه محاسبه مرکز جرم و مرکز سختی در یک سازه با سیستم باربر جانبی قاب خمشی

پلان سازه ی موردنظر به شکل زیر می باشد. در این سازه ابعاد تمامی ستون ها و تیرها 250mm x 500mm و ارتفاع ستون‌ها نیز 3 متر مدنظر قرار گرفته اند.

شکل 9- پلان سازه قاب خمشی موردنظر

سختی هر یک از ستون ها بر اساس روابط تحلیل سازه [4] برابر است با:

که در رابطه فوق داریم:

E: مدول الاستیسیته مصالح
I: ممان اینرسی مقطع
L: طول عضو

باتوجه‌به اینکه مقاطع کل ستون ها به شکل مستطیلی می باشند، به‌راحتی می توان ممان اینرسی آن‌ها را در هر دو جهت محاسبه نمود. رابطه جنرال و کلی محاسبه ممان اینرسی مستطیل به‌صورت زیر می باشد:

شکل 10 – نحوه محاسبه ممان اینرسی مستطیل به‌صورت کلی

رابطه محاسبه ممان اینرسی مقاطع مستطیلی با ابعاد b و h در دو جهت x و y به‌صورت زیر است. در این حالت، ضلع h عمود بر راستای محور x ها می‌باشد.

حال، در صورت یکسان بودن طول و جنس مصالح مقاطع و فاکتورگیری موارد برابر در صورت و مخرج، در رابطه محاسبه مرکز سختی می­توان مقدار سختی را برابر با مدول الاستیسیته هر یک در نظر گرفت (K_x=I_y و K_y=I_x). در ادامه رابطه ساده شده مرکز سختی برای تیرها( e_xbدر جهت x و e_yb در جهت y) و ستون­ها(e_xcدر جهت x و e_yc در جهت y) به تفکیک با توجه به فاکتورهای یکسان هر یک ارائه شده است.

جهت روشن‌تر شدن نحوه محاسبه مرکز سختی ها، برای محاسبات مربوط به مرکز سختی برای تیرها با توجه به طول تیرها به‌صورت زیر عمل می کنیم. بدیهی است محاسبات ارائه شده در ذیل صرفاً جهت آشنا شدن خواننده با نحوه محاسبات این پارامتر برای تیرها و ستون ها ارائه شده است و پارامتر نهایی مربوط به مرکز سختی بایستی از ترکیب محاسبات تیر و ستون محاسبه گردد.

جهت محاسبه پارامترهای x و y از روابط مرکز سختی، مبدأ مختصات در قسمت بالا سمت چپ پلان شکل 7 مدنظر قرار گرفته است. به‌طور مثال برای تیر واقع شده بین ستون S1 و S2 مقدارx برابر با نصف فاصله طول تیر و مقدار y برابر با صفر می باشد.

همچنین برای محاسبات مربوط به مرکز سختی برای ستون ها در هر دو جهت به‌صورت زیر پیش می بریم:

حال با توجه به محاسبات تفکیک شده فوق برای محاسبه مرکز سختی سازه بایستی کلیه محاسبات تمامی المان های سازه ای در قالب یک مجموعه باشند از این‌رو محاسبه نهایی مرکز سختی سازه به‌صورت زیر خواهد بود:

همان‌گونه که در روابط فوق ملاحظه می شود به دلیل عدم تقارن در سیستم باربر جانبی سازه، مرکز تقارن در مرکز پلان قرار نگرفته است. حال به محاسبه مرکز جرم در این سازه می پردازیم.
جهت بررسی دقیق تر ابعاد و مبنای مختصات، شکل زیر را در نظر بگیرید.

شکل 11- مشخصات مرکز سختی در پلان

گام اول جهت محاسبه مرکز جرم سازه، محاسبه جرم اجزای سازه و مختصات هر یک می­باشد؛ بنابراین در ابتدا بایستی مقادیر بارهای سازه به طور جداگانه بر اساس روابط و ضوابط موجود در مبحث 6 مقررات ملی ساختمان مورد محاسبه قرار گیرند. ازاین‌رو، در این گام پس از محاسبه وزن دال،ستون­ها، تیرها و دیوارها مقدار بار مرده مطابق زیر محاسبه گردیده است (وزن مخصوص بتن 25 KN/m³ در نظر گرفته شده است).محاسبه بار مرده یکی از ستون ها برحسب کیلوگرم (ارتفاع: 3 متر):

محاسبه بار مرده یکی از تیرها برحسب کیلوگرم بر متر(وزن یک متر طول از تیر):

که در رابطه فوق L طول تیر می­باشد که متغیر می­باشد. جهت محاسبه وزن هر یک از ستون‌ها بایستی در رابطه فوق مقدار طول بجای L جایگزین شود. بدین منظور برای راحتی محاسبات و درک بهتر نام‌گذاری تیرها بر اساس موقعیت قرارگیری آن‌ها به‌صورت زیر انجام شده و محاسبات هر یک صورت گرفته است. به‌طور مثال W_b12 بیانگر تیر قرارگرفته بین ستون­های S1 و S2 با طول 4.10 متر می­باشد.

محاسبه بار مرده سقف مطابق با جزئیات سقف تیرچه بلوک طبق جدول زیر:

جدول 1جزئیات و مشخصات سقف تیرچه بلوک

از آنجایی که باید وزن معادل تیغه بندی نیز به وزن سقف اضافه گردد برای وزن سقف خواهیم داشت:

مقدار کل بار مرده در این سازه از حاصل جمع مقاطع سازه به سادگی قابل محاسبه بوده و برابر است با:

اکنون می توان مرکز جرم این سازه را بر مبنای مقادیر فوق، محاسبه نمود:

2.2. نحوه محاسبه مرکز جرم و مرکز سختی در سازه دارای سیستم دیوار برشی بتن‌آرمه

در این بخش به بررسی مرکز جرم و سختی در یک سازه دارای دیوار برشی بتن‌آرمه مطابق شکل زیر می پردازیم. بدین منظور پلان سازه شکل 8 را در نظر بگیرید:

شکل 12 پلان سازه دارای دیوار برشی

مشخصات سازه فوق به‌صورت زیر تعریف شده است:

– دیافراگم سقف دال بتنی صلب با ضخامت 10.16 سانتیمتر می باشد.

– دیوارهای بتنی 3.657 متر ارتفاع و 15.24 سانتیمتر ضخامت دارند.

-برای این مثال فرض شده است که مقدار ضریب لرزه­ای محاسبه شده برابر است با: C_s=0.3

– از بار زنده سقف در این مثال صرف‌نظر شده است.

در گام نخست به محاسبه مرکز جرم این سازه پرداخته می شود. بدین منظور وزن المان های سازه ای و فاصله آن‌ها تا مبدأ مختصات محاسبه شده و در جدولی مانند جدول 2 گردآوری شده است.

جدول 2مشخصات مورد نیاز سازه دیوار برشی جهت محاسبه مرکز جرم

پس از محاسبه مقادیر وزن لرزه ای سازه مطابق محاسبات و نکات بخش قبل و همچنین با کمک جدول فوق، حال به‌راحتی می توان به محاسبه مرکز جرم پرداخت:

جهت محاسبه مرکز سختی، لازم است تا در گام نخست سختی المان های باربر جانبی که در اینجا دیوارهای برشی می باشند را به‌طور جداگانه با استفاده از روابط تحلیل سازه محاسبه نمود. به منظور محاسبه سختی دیوارهای برشی با توجه به اینکه ضخامت دیوارها یکسان است و از آنجایی که سختی و تغییر شکل رابطه عکس دارند، از روابط زیر استفاده می گردد:

در رابطه فوق R_i بیانگر سختی دیوار می­باشد. برای محاسبه Δ_i نیز بایستی به‌صورت زیر عمل نمود:

که دراین‌رابطه h_i ارتفاع دیوار و L_i طول دیوار می­باشند. با جایگذاری طول و ارتفاع دیوارها مطابق با جدول زیر نهایتاً سختی دیوارها که در اینجا با R_k نمایش داده‌شده است، به سادگی با جایگذاری در رابطه فوق مطابق با جدول زیر قابل محاسبه خواهد بود. جهت درک بهتر نحوه محاسبات نمونه دیوار شماره یک در ادامه ارائه گردیده است:

جدول 3 مقادیر سختی دیوارها

با داشتن سختی و فاصله دیوارها از مبدأ مختصات، می توان به محاسبه مرکز سختی مطابق جدول و رابطه زیر پرداخت:

جدول 4 محاسبات موردنیاز جهت مرکز سختی

همان‌گونه که ملاحظه می شود در این سازه نیز به دلیل عدم تقارن دیوارها، مرکز سختی و مرکز جرم بر روی یکدیگر منطبق نشده اند.

3.2. نحوه محاسبه مرکز جرم و مرکز سختی در یک سازه با سیستم باربر جانبی مهاربندی

پلان سازه باربر جانبی مهاربندی جهت محاسبه مرکز جرم و مرکز سختی به‌صورت شکل زیر ارائه شده است:

شکل 13- پلان سازه مهاربندی

جهت مشاهده موقعیت قرارگیری مهاربندها در پلان، نمای سه‌بعدی از این سازه در شکل بعد ارائه شده است:

شکل 14- نمای سه‌بعدی از سازه مهاربندی شده

جهت محاسبه مرکز جرم، بایستی وزن اجزای سازه ای جهت تعیین وزن لرزه ای سازه محاسبه گردد. برای محاسبه وزن سازه وزن المان های سازه ای به تفکیک جدول زیر ارائه شده است، همچنین جهت درک بهتر، یک مثال برای وزن هر المان مطابق با مقطع و جداول اشتال به‌صورت زیر انجام شده است:

جدول 5 محاسبه وزن کلی سازه مهاربندی شده

جهت سادگی و تفهیم محاسبات، نام‌گذاری مقاطع مطابق شکل زیر انجام شده است:

شکل 15- نام‌گذاری مقاطع

حال باتوجه‌به رابطه مرکز جرم و فواصل هر یک از المان­ها تا مبدأ مختصات، می­توان در نهایت مرکز جرم این سازه را به شکل زیر ارائه نمود. البته لازم به ذکر است که در این محاسبات جهت سهولت، ابعاد مقاطع در محاسبه فواصل x_i و y_i در نظر گرفته نشده است.

در ادامه به محاسبه مرکز سختی بر اساس روابط موجود خواهیم پرداخت. همان‌گونه که پیش‌تر نیز داشتیم، جهت محاسبه مرکز سختی، لازم است تا در گام نخست سختی المان های باربر جانبی که در اینجا مهاربندها درجهت y و ستون ها درجهت x می باشند، را به طور جداگانه با استفاده از روابط تحلیل سازه مطابق رابطه زیر محاسبه نمود.

شکل 16- محاسبه سختی مهاربند

نکته مهم در این مورد که در بخش­های قبل نیز اشاره شد، این است که می­توان در صورت یکسان بودن مقاطع و جنس مصالح تاحدامکان ساده­ سازی در روابط محاسبه مرکز سختی را انجام داد و ممکن است گاهی نیازی به محاسبه سختی هر المان به‌صورت جداگانه نیز نباشد. بدیهی است که با توجه به جهت قرارگیری مهاربندها، سختی آن‌ها فقط در جهت y (در محاسبه X_CR) لحاظ می­گردد و در جهت x سختی آن‌ها در نظر گرفته نمی­شود. یک نمونه از محاسبات سختی مهاربند جهت درک بهتر نحوه محاسبات سختی در ادامه ارائه می­شود:

3. نقش مرکز جرم و مرکز سختی در طراحی سازه‌ها و الزامات ارائه شده در این مورد

تاکنون تفاوت و نحوه محاسبه مرکز جرم و مرکز سختی به صورت دستی را در سازه ها آموخته ایم. اکنون نیاز است تا نسبت به الزامات ارائه شده در این خصوص و نقش مرکز جرم و مرکز سختی در روند طراحی نیز آگاهی پیدا کنیم. همان‌طور که در مطالب پیشین (بخش 2.1) نیز اشاره شد، در طراحی سازه ها بایستی اولویت بر این باشد که مرکز جرم و مرکز سختی بر روی یکدیگر انطباق داشته باشند زیرا در غیر این صورت سازه دچار پیچش می گردد و نیاز به اندیشیدن تدابیری جهت مقابله با پیچش می باشد.

پیچش لرزه ای می تواند منجر به تشدید پاسخ های جابجایی و احتمال خرابی در المان های پیرامونی سیستم باربر جانبی یک ساختمان غیرمتقارن پیچشی گردد. به منظور محاسبه پتانسیل تشدید در پاسخ لرزه ای به دلیل پیچش، خروج از محوریت نیروهای لرزه ای معمولاً با استفاده از آئین نامه های ساختمانی با اعمال خروج از محوریت استاتیکی تعیین می گردند. در شکل 13 در شکل سمت راست همان‌گونه که ملاحظه می شود به دلیل تطابق مرکز جرم و مرکز سختی هیچ‌گونه پیچشی در سازه رخ نداده است در حالی که در شکل سمت چپ مشاهده می شود که به دلیل عدم تطابق مرکز جرم و سختی پیچش در سازه رخ داده است.

شکل 17- تأثیر فاصله میان مرکز جرم و مرکز سختی

همان‌طور که در شکل فوق نیز پیداست، مرکز سختی را می توان محل اعمال نیروهای مقاوم لرزه ای در نظر گرفت درحالی‌که مرکز جرم محل اعمال نیرو می باشد. حال سؤال اینجاست که حداکثر مقدار مجاز این فاصله میان مرکز جرم و مرکز سختی باید چقدر باشد؟ با نگاهی به بند 1-5 از آیین‌نامه 2800 ویرایش 4 مطابق متن زیر این سؤال جواب داده می شود:

همان‌گونه که در شکل و متن فوق ملاحظه می شود، دانستن نکات مربوط به مرکز جرم و سختی می تواند در بحث مربوط به طراحی و جانمایی مناسب سیستم مهاربندی ساختمان کمک شایانی به مهندسان کند، ازاین‌رو در ادامه مواردی در این مورد با استناد به آیین‌نامه مطرح خواهند شد.

در بحث مربوط به حداکثر ارتفاع مجاز ساختمان ها که در جدول 3-4 از آیین‌نامه 2800 مطرح شده است، نکاتی در خصوص افزایش مقدار ارتفاع مجاز ساختمان های دارای مهاربندی ویژه اشاره شده است که از جمله آن‌ها می توان به نحوه طراحی سیستم مقاوم جانبی بر اساس محل قرارگیری مرکز جرم اشاره نمود:

درنتیجه نامنظمی در ارتفاع ساختمان زمانی به‌وجود می‌آید که ویژگی‌هایی مانند جرم، سختی یا مقاومت جانبی طبقات در امتداد ارتفاع به‌صورت ناگهانی تغییر کنند؛ برای مثال، وجود طبقه نرم در پارکینگ، عقب‌نشستگی قابل‌توجه در طبقات بالاتر یا حذف دیوار برشی در یک طبقه می‌تواند چنین وضعیتی ایجاد کند. این تغییرات باعث تمرکز تغییرمکان نسبی طبقات و نیروهای لرزه‌ای در بخش‌های مشخصی از سازه می‌شوند و در صورت طراحی یا کنترل نامناسب، احتمال آسیب موضعی و کاهش ایمنی ساختمان در زلزله را افزایش می‌دهند.

برای آشنایی بیشتر با انواع نامنظمی در ارتفاع ساختمان و اثر آن‌ها بر رفتار لرزه‌ای سازه، می‌توانید مقاله بررسی انواع نامنظمی در ارتفاع را مطالعه کنید.

با علم به اینکه عدم تطابق مرکز جرم و سختی در سازه ایجاد پیچش می­کند، لازم است تا مقدار این لنگر پیچشی در صورت لزوم محاسبه گردد. در بحث مربوط به توزیع نیروی برشی زلزله در پلان ساختمان جهت محاسبه لنگر پیچشی ایجاد شده در اثر نیروهای جانبی زلزله رابطه­ ای ارائه گردیده بود که این رابطه بر مبنای فاصله افقی میان مرکز جرم و سختی ارائه می­شود:

در این رابطه:

e_ij : برون مرکزی نیروی جانبی طبقه j نسبت به مرکز سختی طبقه i، فاصله افقی مرکز جرم طبقه j و مرکز سختی طبقه i

e_aj : برون مرکزی اتفاقی طبقه j

F_uj : نیروی جانبی در تراز طبقه j

در زمینه محاسبه فاصله میان مرکز جرم و سختی جهت تحلیل و طراحی ساختمان ها، آیین‌نامه 2800 برای سازه های کوتاه مرتبه دارای شرایط خاص که در بند 3-18-2 بند ح اشاره شده است، تخفیف قائل شده است که آن به شکل زیر می باشد:

با دانستن اطلاعات فوق می توان طراحی مناسبی را جهت ارضا نمودن موارد آئین‌نامه‌ای در زمینه مرکز جرم و سختی داشت، حال زمان آن است تا ببینیم که این موارد چگونه در نرم‌افزار ETABS قابل‌کنترل و مشاهده می باشند. در ادامه به ذکر مثالی در این زمینه خواهیم پرداخت.

4. مفهوم مرکز جرم و مرکز سختی با ارائه یک مثال در ایتبس

به‌منظور آشنایی با نحوه کنترل مرکز جرم و سختی در مدل‌های نرم‌افزاری ساخته شده در نرم‌افزار ایتبس، در این قسمت به بررسی یک ساختمان بتنی 3 طبقه در دو جهت قاب خمشی می پردازیم. پلان و نمای سه‌بعدی سازه مطابق شکل زیر در نظر گرفته شده است:

شکل 18- پلان سازه بتنی قاب خمشی

شکل 19- نمای سه‌بعدی سازه بتنی قاب خمشی

همان‌گونه که مشاهده می­شود سازه در طبقات یک تا سه دارای راه ­پله می­باشد که باعث برهم خوردن توزیع جرم می­شود بنابراین، پیش­بینی می­گردد که مرکز جرم و مرکز سختی در این سازه در طبقات یک تا سه تطابق اندکی داشته باشند. محل مرکز جرم در سازه با تعریف دیافراگم صلب به‌صورت چشمی قابل‌مشاهده خواهد بود.

انتخاب نوع دیافراگم (صلب یا نیمه‌صلب) مستقیماً روی نحوه «توزیع» نیروهای زلزله و «حرکت» طبقات اثر می‌گذارد. به زبان ساده، دیافراگم مثل سقف ساختمان است که وظیفه دارد نیروهای زلزله را بین ستون‌ها و دیوارها پخش کند. تفاوت این دو حالت در تفسیر مرکز جرم و مرکز سختی به صورت زیر است:

• دیافراگم صلب (Rigid Diaphragm): در ساختمان‌های معمول، سقف‌های بتنی به دلیل یکپارچگی و سختی بالا، مانند یک صفحه صلب عمل کرده و در هنگام زلزله تغییر شکل درون‌صفحه‌ای ندارند؛ به عبارت ساده، کل سقف در هر طبقه یکپارچه و به صورت یک واحد صلب حرکت می‌کند. در این شرایط، نرم‌افزارهایی مثل ETABS برای هر طبقه تنها یک «مرکز جرم» و یک «مرکز سختی» واحد محاسبه می‌کنند که باعث می‌شود رفتار لرزه‌ای ساختمان به شکلی کاملاً قابل‌پیش‌بینی باشد؛ چرا که در این حالت، سازه مانند یک جسم صلب حول این مراکز می‌چرخد و نیروهای زلزله با یک قاعده مشخص (بر اساس فاصله مرکز جرم تا مرکز سختی) میان ستون‌ها توزیع می‌شوند؛ ویژگی مهمی که تفسیر مدل و کنترل‌های لرزه‌ای را برای مهندسان بسیار ساده و شفاف می‌سازد.

• دیافراگم نیمه صلب (Semi-Rigid Diaphragm): در واقعیت، هیچ سقفی صد در صد صلب نیست و اگر ساختمان دارای ابعاد بزرگ، کشیدگی زیاد یا بازشوهای وسیع باشد، سقف در حین زلزله انعطاف‌پذیر عمل کرده و دچار تغییر شکل می‌شود؛ موضوعی که باعث می‌شود دیگر نتوان برای توصیف رفتار طبقه تنها به مفهوم «مرکز جرم واحد» اکتفا کرد، چرا که در این حالت هر بخش از سقف جابه‌جایی متفاوتی خواهد داشت. در چنین شرایطی، نیروهای زلزله نه بر اساس فاصله هندسی از مرکز سختی، بلکه بر مبنای سختی موضعی اعضا توزیع می‌شوند و ساختمان ممکن است دچار پیچش‌های موضعی غیرمنتظره‌ای شود که در مدل‌های صلب دیده نمی‌شدند؛ از این رو، هنگام تحلیل با فرض دیافراگم نیمه‌صلب، تکیه بر نقطه «مرکز سختی» به‌تنهایی کافی نیست و برای درک دقیق رفتار سازه، باید توزیع واقعی تنش‌ها در سقف را به عنوان شاخص اصلی کنترل کرد.

شکل 20 – نحوه تعریف دیافراگم صلب در سازه

شکل 21 – تعریف دیافراگم صلب در سازه

شکل 22 – مشاهده مرکز جرم به‌صورت چشمی با تعریف دیافراگم صلب

❓مرکز جرم دیافراگم چه تفاوتی با مرکز جرم کل ساختمان دارد؟

از نظر ماهیت ریاضی و شیوه محاسبه، مرکز جرم دیافراگم یک مفهوم کاملاً دوبعدی است که صرفاً بر اساس میانگین وزنی توزیع جرم‌ها در صفحه افقی همان طبقه محاسبه می‌شود و مؤلفه ارتفاع (z) هیچ نقشی در آن ندارد؛ در حالی که مرکز جرم کل ساختمان یک کمیت سه‌بعدی به شمار می‌رود که در محاسبه آن علاوه بر موقعیت افقی جرم‌ها، تراز ارتفاعی هر طبقه و سهم وزنی آن در کل سازه نیز لحاظ می‌شود تا موقعیت نهایی نقطه تعادل کلی سازه در فضا تعیین گردد.

از نظر تحلیل زلزله، تفاوت عملکردی این دو مرکز جرم در تأثیر آن‌ها بر پدیده پیچش بسیار حیاتی است؛ مرکز جرم هر دیافراگم تعیین‌کننده خروج از مرکزیت و عامل اصلی پیچش در همان طبقه است، به طوری که عدم انطباق آن با مرکز سختی همان تراز، موجب چرخش موضعی آن طبقه می‌شود، حتی اگر سایر بخش‌های ساختمان پایداری مطلوبی داشته باشند. در مقابل، مرکز جرم کل ساختمان عامل اصلی تعیین‌کننده «مودهای ارتعاشی کل سازه» محسوب می‌شود و موقعیت آن مشخص می‌کند که کل حجم ساختمان در مودهای ارتعاشی اولیه و اصلی، حول محورهای خود چگونه نوسان کرده و رفتار پیچشی یا انتقالی سراسری سازه را دیکته می‌کند.

از نظر پاسخ به نیروهای جانبی مانند باد و زلزله، مرکز جرم دیافراگم مبنای «توزیع نیرو در تراز هر طبقه» است تا مشخص شود نیروی جانبی وارده در آن سطح، با چه سهم و خروج از مرکزیتی به تک‌تک ستون‌ها، مهاربندها یا دیوارهای برشی منتقل می‌شود؛ در حالی که مرکز جرم کل ساختمان برای «تعیین پاسخ کلی سازه» به کار می‌رود و موقعیت و وزن تجمیعی متمرکز در آن، پارامتر کلیدی در محاسبه وزن مؤثر لرزه‌ای، زمان تناوب اصلی و تعیین نیروی برش پایه کل سازه از روی طیف پاسخ آیین‌نامه به شمار می‌رود.

شکل 23- محل مرکز جرم کل ساختمان و مرکز جرم دیافراگم یک سازه

برای نمایش مرکز جرم در ایتبس و مرکز سختی در ایتبس، می­توان پس از انجام سایر تنظیمات مربوط به تعریف اجزای سازه­ای و متریال موردنظر به تحلیل سازه پرداخت تا مختصات دقیق مرکز جرم و مرکز سختی قابل‌مشاهده و کنترل باشند. برای مشاهده این مشخصات، پس از تحلیل سازه بایستی به منوی Display رفته و گزینه Show Tables را انتخاب کرد. سپس گزینه Center of Mass and Rigidity را مانند شکل زیر انتخاب می‌کنیم تا مشخصات مرکز جرم در ایتبس و مرکز سختی در ایتبس را به تفکیک طبقات در دو جهت x و y به ما بدهد.

شکل 24- نحوه نمایش مرکز جرم و سختی در ETABS

شکل 25- مشخصات مرکز جرم و سختی در ETABS

در جدول فوق منظور از طبقه چهارم، خرپشته سازه می­باشد که باتوجه‌به نوع پلان و مقاطع این طبقه تفاوت زیادی بین مرکز جرم و سختی در این طبقه نسبت به سایر طبقات مشاهده می­شود. برای سایر طبقات نیز همان‌گونه که پیش ­بینی می­شد مرکز جرم و سختی با یکدیگر تطابق ندارند.

نکته: باید به این نکته توجه کرد که نمایش مرکز جرم و مرکز سختی در Etabs برای تأئید صحت مدل کافی نیست اما یکی از کنترل‌های اولیه و بسیار مهم مدل محسوب می‌شود. این نقاط فقط نشان می‌دهند که توزیع جرم و سختی جانبی مدل، در نگاه اول، منطقی به نظر می‌رسد یا خیر؛ ولی درست بودن آن‌ها الزاماً به معنی صحت کامل بارگذاری، تعریف مصالح، مقاطع، دیافراگم‌ها، اتصالات و نتایج تحلیل نیست.

5. بررسی تأثیر چند آرایش متفاوت مراکز جرم و سختی برسازه و مقایسه آن‌ها با یکدیگر

جهت مقایسه نحوه آرایش سیستم باربر جانبی و تأثیر آن بر تطابق مرکز جرم و سختی و پاسخ سازه، سازه 4 طبقه بتنی دارای دیوار برشی در 4 جهت مطابق شکل زیر مدل شده است.

شکل 27- پلان سازه در حالت 4 دیوار برشی در 4 جهت

مشخصات بارگذاری سازه بر اساس مبحث 6 مقررات ملی ساختمان ویرایش سوم 1392 و آیین‌نامه 2800 ویرایش 4 صورت گرفته است. ابعاد ستون های بتنی 50 در 50 و نیز 40 در 40 سانتی متر با اختصاص آرماتور متناسب با طبقه و بار وارده می باشند. تیرهای بتنی نیز به ابعاد 50 در 50 سانتی متر تعریف و اختصاص داده شده اند. ضخامت دیوار برشی بتن آرمه نیز 30 سانتی متر لحاظ شده است. مشخصات مرکز جرم و سختی این سازه پس از تحلیل به شکل زیر است:

شکل 28 مرکز جرم و سختی در حالت 4 دیوار برشی در 4 طرف

همان‌طور که پیش بینی می شد باتوجه‌به تقارن سازه و توزیع برابر جرم در سازه، مقادیر مرکز جرم و سختی سازه بر روی یکدیگر منطبق شده و در مرکز پلان که همان مرکز سطح سازه می باشد، قرار گرفته اند. حال برای مقایسه، آرایش دیوار برشی‌ها را به شکل زیر تغییر می دهیم:

شکل 29-تغییر در آرایش دیوار برشی در مدل دوم

پس از تحلیل سازه، نتایج مرکز جرم و سختی را به شکل زیر می توان مشاهده کرد:

شکل 30- تغییرات مدل دوم در مرکز جرم و سختی

همان‌گونه که ملاحظه می­شود با تغییر و حذف دیوارها به‌صورت نامتقارن، مراکز جرم و سختی دچار تغییراتی شدند؛ این تغییرات در مرکز سختی بسیار زیاد می­باشد و باعث می­شود که عدم تطابق زیاد مراکز جرم و سختی موجب پیچش سازه گردد. برای کسب آگاهی بیشتر درباره نامنظمی پیچشی در نرم‌افزار ETABS، به مقاله آموزش گام به گام نحوه کنترل نامنظمی پیچشی در ایتبس مراجعه نمائید. به‌عنوان مدل نهایی، کف و تیر و ستون­های یک دهانه از سازه را این بار مطابق شکل حذف می­کنیم و دیوارهای برشی را در همان حالت مدل ابتدایی حفظ می­کنیم:

شکل 31- مدل سوم با حذف یکی از دهانه‌های سازه

پس از تحلیل سازه، مطابق شکل زیر نتایج مرکز جرم و سختی قابل‌بررسی است.

شکل 32- تغییرات مدل سوم در مرکز جرم و سختی

همان‌طور که ملاحظه می شود این بار اگرچه مرکز جرم و سختی به‌مانند مدل اول منطبق نشده اند، ولی تغییرات رخ‌داده نسبت به مدل دوم و حالت حذف و عدم تقارن سیستم باربر جانبی بسیار کمتر می باشد.

پرسش و پاسخ

نتیجه‌گیری

در این مقاله به بررسی مرکز جرم، مرکز سختی، مرکز سطح و مرکز ثقل از چند منظر پرداخته شد. در ابتدا به تعریف و روابط موجود جهت محاسبه این مفاهیم اشاره شد سپس ارائه مثال­ های متعدد به‌صورت محاسبات دستی و کنترل نرم‌افزاری در ایتبس مورد تشریح قرار گرفت. امروزه در مورد تأثیر پیچش در سازه ­ها و نحوه تشدید خرابی سازه ­ها به دلیل پیچش موارد زیادی مورد بحث بوده است، که در این زمینه یکی از مهم­ترین عوامل تأثیرگذار کنترل تطابق هر چه بیشتر مرکز جرم و سختی بر روی یکدیگر است.

همان‌گونه که ملاحظه می­شود به طور کلی در صورتی که سازه به‌صورت منظم بوده و توزیع جرم به‌صورت یکسان انجام شده باشد مرکز جرم و سختی بسیار نزدیک به یکدیگر بوده و چه بسا بر روی یکدیگر به طور کامل انطباق داشته باشند. از نکات مهمی که در این مقاله ملاحظه گشت این بود که در صورتی که سیستم باربر جانبی به‌صورت نامتقارن باشد تأثیر بسیار شدیدتری بر عدم تطابق مرکز جرم و سختی خواهد گذاشت در مقایسه با حالتی که تغییراتی در توزیع جرم و پلان سازه به وجود آید.

از این‌رو، لازم است تا با کنترل موارد آئین‌نامه‌ای ارائه شده، تا حد امکان به طراحی سیستم باربر جانبی به‌صورت متقارن پرداخته شود، ولی چنانچه به دلایلی این امر مهم قابل اجرا نبود، بایستی با تغییراتی در توزیع جرم سازه تا حد امکان مرکز جرم و سختی سازه را به یکدیگر نزدیک نمود تا بتوان به مقدار کنترل­ های ارائه شده در آئین­نامه در زمینه فاصله بین این دو مرکز، دست یافت.

منابع

1. مبحث ششم مقررات ملی ساختمان، ویرایش سال 1398.
2.  آیین‌نامه طراحی ساختمان ها در برابر زلزله، استاندارد 2800 
3.  عظیمی نژاد، آرمین و سروقد مقدم، عبدالرضا، عملکرد ساختمان های نامتقارن یک طبقه با آرایش های متفاوت مراکز سختی، مقاومت و جرم تحت اثر نگاشت های تک مؤلفه‌ای و دو مؤلفه‌ای زلزله، ژورنال زلزله‌شناسی و مهندسی زلزله، سال هشتم، شماره دوم
4. تحلیل سازه ها، دکتر نادر فنایی، انتشارات سیمای دانش.
5. Mehana, M. S., Mohamed, O., & Isam, F. (2019, September). Torsional Behaviour of Irregular Buildings with  Single Eccentricity. In IOP Conference Series: Materials Science and Engineering (Vol. 603, No. 5, p. 052028). IOP Publishing.

• مطلبی میخواهید که نیست ؟ از ما بپرسید تا برایتان محتوا رایگان تولید کنیم!

• ارسال سوال برای تولید محتوا