فرمول محاسبه‌ ممان اینرسی مقاطع مختلف(مستطیل، مثلث و مقاطع مرکب)

ممان اینرسی چیست؟

همانطور که می دانید محاسبه‌ ممان اینرسی یا گشتاور دوم سطح یکی از محاسبات پایه ای در طراحی سازه است و به جرات می توانم بگویم اگر مقدار ممان اینرسی را به درستی محاسبه نکنید قطعا مابقی محاسبات سازه ای شما مانند محاسبه اساس مقطع و شعاع ژیراسیون را اشتباه انجام خواهید داد. ما با استفاده از یک فرمول و روش های متفاوت می توانیم ممان اینرسی مقاطع مختلف از جمله ممان اینرسی مثلث و مستطیل را بدست آوریم.

در این مقاله جامع ابتدا مفهوم ممان اینرسی را بیان می کنیم سپس بافرمول و روش های متفاوت ممان اینرسی مقاطع مختلف مانند مستطیل، مثلث و مقاطع مرکب را محاسبه می کنیم.

email

دریافت رایگان ایبوک طراحی سازه بتنی 

نگران نباشید ایمیل هرز برایتان ارسال نمی کنیم. ایمیل شما نزد ما محفوظ است.

ممان اینرسی چیست؟

در سازه، یکی از مهم‌ترین نیروهایی که به هر عضو، مانند تیرها، وارد می‌شود ممان یا لنگر است. در نتیجه عضو باید به گونه‌ای طراحی شود که در مقابل این لنگرها مقاومت مناسبی داشته باشند. از این رو، یکی از مهم‌ترین راه‌ کارها برای طراحی اعضای خمشی، افزایش ممان اینرسی مقطع آن‌ها می‌باشد تا در مقابل خمش مقاومت نمایند.

 حال سؤال اصلی اینجاست که چه پارامترهایی در افزایش یا کاهش ممان اینرسی یک مقطع تأثیرگذارند؟

برای پاسخ به این سؤال، از مثال استفاده می‌نماییم:

مثال 1) دو میله‌ به طول 1 متر را در نظر بگیرید. در دو سر این میله‌ها وزنه‌هایی 5 کیلوگرمی نصب شده است، با این تفاوت که این وزنه‌ها در یکی از میله‌ها کاملاً در دو انتهای میله قرار داده شده‌اند اما در میله‌ی دیگر این دو وزنه با فاصله کمتری در مرکز میله قرار دارند. در صورتی که بخواهیم این دو میله را از وسط به کمک یک دست، حول محوری عمود بر محور میله بچرخانیم، به نظر شما چرخاندن کدام میله راحت‌تر خواهد بود؟

به احتمال زیاد شما هم موافق هستید که چرخاندن میله‌ی دوم راحت‌تر می‌باشد. دلیل این پدیده، با توجه به اینکه جرم هر دو میله برابر می‌باشد، تفاوت ممان اینرسی میله هاست، به‌ طوری‌که میله‌ی دوم به دلیل ممان اینرسی کمتر، مقاومت کمتری هم در مقابل چرخش از خود نشان می‌دهد.

با ذکر این مثال می‌توان فهمید که ممان اینرسی ارتباط زیادی به نحوه‌ی توزیع جرم در مقطع خواهد داشت به‌طوری‌که هر چه جرم به مرکز سطح نزدیک‌تر باشد، ممان اینرسی هم کمتر خواهد بود.

مثال 2)این پدیده را در پرش شناگران از ارتفاع هم می‌توان مشاهده کرد. در این حالت، شناگر بدن خود را طوری جمع می‌نماید که تمامی جرم بدن به مرکز آن نزدیک شده تا چرخش بدن راحت‌تر شود. در این حالت در واقع سرعت دوران بدن (ω) بیشتر خواهد بود.

تفاوت ممان اینرسی حالت‌های مختلف بدن شناگران در هنگام پرش

در برخی از اعضای سازه‌ای مانند تیرها، نیروی اصلی و حاکم بر طراحی عضو معمولاً خمش می‌باشد. در نتیجه افزایش ممان اینرسی در این اعضا اهمیت زیادی خواهد داشت. تیرهای I شکل با توجه به نکات ذکر شده، به دلیل دورتر شدن جرم از مرکز سطح (به عبارت دقیق‌تر، تار خنثی)، دارای ممان اینرسی بیشتری در مقایسه با یک مقطع مستطیل‌شکل با جرم برابر می‌باشد. همچنین، ساخت تیرهای لانه‌زنبوری هم دقیقاً با همین فلسفه، به‌ خصوص در گذشته رواج یافت تا با دورتر کردن مصالح از تار خنثی، بتوان توانایی مقطع در تحمل خمش را افزایش داد.

تبدیل تیر I شکل به مقطع لانه‌زنبوری

تار خنثی (Neutral Axis) برای هر مقطع، محوری است که در هنگام خمش، تنش خمشی بر روی آن صفر باشد یا به عبارتی، کشش و یا فشار ناشی از خمشی بر روی این محور ایجاد نشود، در نتیجه این محور تغییر‌شکل هم نمی‌دهد.

محاسبه ممان اینرسی به کمک فرمول آن

ممان اینرسی یک سطح، از حاصل‌ضرب مساحت‌ المان‌ های کوچک (dA)، در مجذور فاصله‌ی آن‌ ها تا تار خنثی (y²) به دست می‌آید.

در شکل زیر، مشاهده می‌شود که مقطع به المان‌های کوچک تقسیم شده است. برای محاسبه‌ی ممان اینرسی کل مقطع، مساحت هر المان A، در d² ضرب خواهد شد.

تقسیم شکل به المان‌های دیفرانسیلی (کوچک) جهت محاسبه‌ ممان اینرسی

در ادامه، این فرمول را می‌توان در محاسبه‌ ممان اینرسی مقاطع پرکاربرد استفاده نمود. به عنوان مثال، ممان اینرسی مستطیل و ممان اینرسی مثلث در بخش بعد محاسبه شده است.

محاسبه‌ ممان اینرسی مستطیل

ممان اینرسی را می‌توان برای محورهای مختلف محاسبه نمود. در شکل زیر دو محور اصلی مقطع (محورهای x و y) نشان داده شده‌اند.

برای محاسبه‌ی ممان اینرسی مستطیل حول محور x به صورت زیر عمل می‌نماییم:

به همین ترتیب در صورتی که ممان اینرسی را حول محور y هم محاسبه نماییم این مقدار برابر با I_yy = (hb³)/12 خواهد بود. همان‌طور که مشاهده می شود بٌعد ممان اینرسی طول به توان چهار است.

 ممان اینرسی حول کدام محور بزرگ‌تر است؟

همان‌ طور که از فرمول‌های نهایی حاصل برای هر یک از محورها هم مشخص می‌باشد، به دلیل اینکه در حالت اول فاصله‌ی مصالح از محور دوران (محوری که ممان اینرسی حول آن محاسبه می‌شود) دورتر است، در نتیجه I_xx > I_yy خواهد بود. در شکل زیر هم مشاهده می‌شود برای مقطع 1 که دوران حول محور x انجام می‌شود، به دلیل بزرگ‌تر بودن ممان اینرسی، مقطع کمتر دچار تغییرشکل شده است.

تأثیر ممان اینرسی مقطع در تغییرشکل در اثر خمش

محاسبه‌ ممان اینرسی مثلث

یکی دیگر از شکل‌های پرکاربرد که می‌توان ممان اینرسی آن را محاسبه نمود مثلث است. در ابتدا ممان اینرسی حول محوری افقی عبوری از مرکز سطح (محور c-c) محاسبه می‌شود:

با استفاده از همین روش و انتگرال‌گیری حول محورهای مختلف می‌توان ممان اینرسی را محاسبه نمود. در ادامه ممان اینرسی حول محور عبوری از ضلع BC محاسبه شده است.

ممان اینرسی حول محور عبوری از ضلع BC:

با توجه به محاسبات فوق می‌توان به این نتیجه رسید که محاسبه‌ی ممان اینرسی حول محورهای مختلف از طریق انتگرال‌گیری چندان ساده نبوده و احتیاج به صرف وقت و دقت فراوانی می‌باشد، به همین دلیل بسیاری از مهندسین، ممان اینرسی اشکال اصلی را حول محورهای مهم آن به خاطر می‌سپارند. در جدول زیر ممان اینرسی برخی اشکال مهم حول محورهای اصلی آن‌ها قابل مشاهده است.

محاسبه‌ ممان اینرسی به روش انتقال

همان‌طور که مشاهده شد تا به اینجا ممان اینرسی به کمک انتگرال‌گیری حول محورهای مختلف مقاطع محاسبه شد و در پایان متوجه شدیم که به دلیل زمان‌بر بودن این محاسبات بهتر است فرمول ممان اینرسی حول محورهای اصلی برای برخی اشکال را به خاطر بسپاریم. اما در بسیاری از حالات نیاز به محاسبه‌ی این پارامتر، حول سایر محورهای عبوری از مقطع هم داریم و طبیعتاً امکان به خاطر سپردن ممان اینرسی، حول تمامی محورها وجود ندارد.

در این مواقع استفاده از روش انتقال محورها بسیار مفید است. با توجه به این قانون با داشتن ممان اینرسی حول یک محور، می‌توان ممان اینرسی را حول سایر محورهایی که موازی با محور اولیه می‌باشند، محاسبه نمود. به عنوان مثال در شکل زیر، ممان اینرسی حول محورهای x و y را می‌توان بر حسب ممان اینرسی حول محورهای x₀  و y₀  به کمک فرمول زیر محاسبه نمود:

در این رابطه d فاصله‌ی دو محور موازی و A هم مساحت کل مقطع می‌باشد. به عنوان مثال در بخش قبل متوجه شدیم که ممان اینرسی مستطیل حول محور عبوری از مرکز سطح آن hb³)/12) خواهد بود. حال در شکل زیر، با توجه به قانون محورهای موازی، ممان اینرسی حول محور p به صورت زیر محاسبه می‌شود:

به همین صورت برای مثلث هم می‌توان، ممان اینرسی را حول قاعده، با توجه به ممان اینرسی حول محور عبوری از مرکز سطح محاسبه نمود (هر دو مقدار در بخش قبل محاسبه شده‌اند).

نحوه محاسبه‌ ممان اینرسی به روش چرخش (دوران) محورها

گاهی اوقات ممکن است نیاز به محاسبه‌ی ممان اینرسی حول محوری داشته باشیم که موازی با هیچ یک از محورهای اصلی نباشد. در این صورت با داشتن ممان اینرسی در دو جهت عمود بر هم و با استفاده از زاویه‌ی محور مورد نظر با محورهای ذکر شده، ممان اینرسی را می‌توان محاسبه نمود.

به عنوان مثال در شکل زیر ممان اینرسی حول محور  ′x و ′y مدنظر می‌باشد. این دو محور با محورهای x و y زاویه‌ی θ ساخته‌اند. با فرض اینکه ممان اینرسی حول محورهای x و y، به کمک فرمول‌ها و روش‌های گفته شده در بخش‌های گذشته، قابل محاسبه باشند، با استفاده از فرمول ذیل، _′I_x و  _′I_y  هم محاسبه می شوند:

محاسبه‌ ممان اینرسی مقاطع  I شکل

گاهی اوقات نیاز به محاسبه‌ی ممان اینرسی مقاطع ترکیبی مانند مقطع I شکل داریم. در این شرایط می‌توان مقطع اصلی را به چند مقطع شناخته شده تقسیم نمود و ممان اینرسی هر یک از مقاطع را به صورت جداگانه، به کمک یکی از روش‌ها در بخش‌های گذشته محاسبه نمود. به عنوان مثال در اینجا مقطع I شکل از ترکیب سه مستطیل ساخته شده است، پس از محاسبه‌ی ممان اینرسی تک‌تک این مقاطع حول محور مدنظر، با ترکیب نتایج، ممان اینرسی کل مقطع به دست می‌آید. در شکل زیر ممان اینرسی یک مقطع تیرورق، حول محور x و y محاسبه خواهد شد.

روش اول:

با دقت در این شکل مشخص می‌شود که مقطع از سه قسمت تشکیل شده است: دو مستطیل افقی (بال مقطع)  و یک مستطیل عمودی (جان مقطع). ممان اینرسی مستطیل عمودی با توجه به اینکه محور x از مرکز تقارن آن عبور نموده است برابر با فرمول ارائه شده در بخش اول می‌باشد. فرمول معروفی که برای محاسبه‌ی ممان اینرسی مستطیل به کار می‌رود (bh³/12) می‌باشد که پیشنهاد می‌شود حتماً به خاطر بسپارید.

همانطور که مشاهده می‌شود در این حالت، یکی از اضلاع مستطیل دارای توان 1 بوده (ضلع b) و دیگری به توان 3 می‌رسد (ضلع h). حال سؤال مهم این است که در شرایط مختلف چگونه می‌توان تصمیم گرفت که کدام ضلع دارای توان 3 و کدام یک دارای توان 1 می‌باشد؟

تصمیم‌گیری در این رابطه با توجه به محور مدنظر برای محاسبه‌ی ممان اینرسی انجام خواهد شد. به عنوان یک نکته‌ی تستی مهم، می‌توان گفت: ضلعی که دارای توان 3 می‌باشد، ضلعی است که توسط محور مدنظر برای محاسبه‌ی ممان اینرسی قطع می‌شود. به عبارت دیگر در شکل فوق، برای محاسبه‌ی ممان اینرسیِ جان مقطع حول محور x، h_w باید به توان 3 برسد، زیرا توسط محور x قطع شده است:

ممان اینرسی مستطیل‌های افقی بالا و پایین (بال‌های مقطع) را با توجه به این‌که محور x از مرکز تقارن آنها عبور نکرده است، نمی‌توان مسقیما از فرمول (bh³/12) محاسبه نمود، اما با توجه به اینکه محور x با محور تقارن بال‌ها موازیست، می‌توان با استفاده از قانون انتقال محورها، ممان اینرسی آنها را حول محور x  محاسبه نمود که فرمول مربوط به آن در بخش‌های گذشته نشان داده شد:

در این رابطه   I_XO ممان اینرسی حول محور تقارن مستطیل بوده (که با توجه به فرمول محاسبه می‌شود)  و   d_x هم فاصله‌ی بین محور x در شکل بالا و محور تقارن بال می‌باشد، A هم مساحت بال می‌باشد. به دلیل تقارن مقطع حول محور x ممان اینرسی بالِ بالا و پایین برابر می‌باشد:

در محاسبه‌ی ممان اینرسیِ بال‌های مقطع، برخلاف جان مقطع، محور x مستقیماً یکی از اضلاع را قطع نکرده اما امتدادِ عرض بال (t_f) توسط محور x قطع می‌شود، در نتیجه در محاسبه‌ی ممان اینرسی t_f  به توان 3 رسیده است.

لازم به ذکر است که این توضیحات برای راحتی فرآیند محاسبات ارائه شده و در حالت کلی، محاسبه‌ی ممان اینرسی بال‌های مقطع با دو فرض زیر انجام شده:

• بال ابتدا بر روی محور x منتقل شده و بخش اول رابطه‌ی بالا (b_f t_f³ / 12)نشان دهنده‌ی این فرض می‌باشد.
• برای اینکه بتوان از فرض فوق استفاده نمود، بخش دوم رابطه‌ی بالا (b_f t_f  × (h_w/2 + t_f/2)²)  مورد استفاده قرار گرفته تا انتقال بال بر روی محور x به کمک قانون انتقال محورها توجیه‌پذیر باشد. در این رابطه،  (h_w/2 + t_f/2) نشان‌دهنده‌ی فاصله‌ی محور تقارن بال تا محور x می‌باشد.

حال، با جمع ممان اینرسی سه شکل، ممان اینرسی کل مقطع به دست می‌آید:

روش دوم:

روش دیگری که می‌توان ممان اینرسی این مقطع را محاسبه نمود در نظر گرفتن این مقطع به صورت یک مستطیل توپر می‌باشد که دو مستطیل توپر (در طرفین جان) از مقطع خارج شده است:

• با توجه به نکات ذکر شده، به نظر شما مقدار ممان اینرسی حول x بزرگ‌تر خواهد بود یا حال محور y؟

برای پاسخ به این سؤال، ابتدا ممان اینرسی حول محور y هم محاسبه خواهد شد. بدین منظور شکل مقطع را 90 درجه می‌چرخانیم، توجه نمایید که محور y همچنان موازی با جان تیرورق می‌باشد:

در این حالت هم طبیعتاً همچنان مقطع از سه بخش جداگانه تشکیل شده است با این تفاوت که این بار ممان اینرسی هر مقطع با توجه به فرمول، حول محور y محاسبه خواهد شد. برای محاسبه‌ی ممان اینرسیِ جان حول محور y دقیقاً مشابه با بخش اول عمل نموده، با این تفاوت که در این حالت محور y عرض جان (t_w) را قطع نموده، در نتیجه این ضلع باید به توان 3 برسد:

با یک مقایسه‌ی ساده بین ممان اینرسی جان، در دو حالتی که حول محور x و y  محاسبه شدند، تفاوت قابل توجه این دو مقدار مشهود می‌شود به طوری که حول محور x مقدار آن454238.8 mm⁴   و حول محور y این مقدار 762.4 mm⁴  می‌باشد که این موضوع نشان‌دهنده‌ی تأثیر محور انتخابی بر مقدار ممان اینرسی مقطع می‌باشد. حول محور x با توجه به این‌که مصالح مقطع از محور دورتر می‌باشند، ممان اینرسی هم حول این محور بزرگ‌تر بدست آمده است. در ادامه ممان اینرسی بال‌های مقطع هم حول محور y محاسبه خواهد شد.

تفاوت بسیار مهم در محاسبه‌ی ممان اینرسی بال‌ها حول محور y با محور x در استفاده از قانون انتقال محورها می‌باشد. همانطور که مشاهده شد در حالتی که ممان اینرسی بال مقطع حول محور x محاسبه شد، به دلیل منطبق نبودن محور x بر محور تقارن بال، مجبور به استفاده از قانون انتقال محورها شدیم. اما با بررسی دقیقتر بال‌ها مشاهده می‌شود که محور y منطبق بر یکی از محورهای تقارن بوده و در نتیجه احتیاجی به استفاده از قانون انتقال محورها نخواهیم داشت، در این حالت:

از آنجایی که محور y، ضلع بزرگتر بال‌ها را قطع نموده، در نتیجه b_f به توان 3 رسیده است. برای محاسبه‌ی ممان اینرسی کل مقطع حول محور y، ممان اینرسی جان و دو بال با یکدیگر جمع خواهند شد.

مشاهده می‌شود که ممان اینرسی مقطع حول محور x در حدود 11 برابر ممان اینرسی همان مقطع حول محور y می‌باشد. این پدیده اهمیت توجه به جهت بارگذاری مقاطع در سازه‌ها را نشان می‌دهد، تا مقاطع در سازه حول محوری کار گذاشته شوند که در آن جهت برای مقابله با خمش، احتیاج به ممان اینرسی بیشتری داریم.

در ابتدای این ایبوک در رابطه با شکل زیر بحث شد  اما برای بررسی بیشتر در ادامه توضیحات تکمیلی در رابطه با آن ارائه می‌شود. در این شکل در حالت شماره 2، مقطع به شکلی کار گذاشته شده که خمش ایجاد شده به واسطه‌ی حضور شخص بر روی آن توسط محور ضعیف (محوری با ممان اینرسی کوچکتر یا محور y  در مثال فوق) تحمل می‌شود. این در حالیست که با چرخاندن مقطع در حالت 1، تغییرشکل مقطع بسیار کاهش یافته است که دلیل این امر این است که در این حالت خمش توسط محور با ممان اینرسی بزرگتر (محور x در مثال فوق) تحمل می‌شود.

تأثیر ممان اینرسی مقطع در تغییرشکل در اثر خمش

در ابتدای این ایبوک ذکر شد که ممان اینرسی، در واقع مقاومت مقطع در مقابل تغییرشکل‌های ناشی از خمش می‌باشد، در نتیجه زمانی که خمش ناشی از حضور شخص، توسط محور قوی‌تر تحمل می‌گردد (حالت 1)، تغییرشکل مقطع هم کاهش می‌یابد.

محاسبه‌ی ممان اینرسی مقاطع مرکب

در مهندسی عمران، مستطیل مرسوم‌ترین شکلیست که در اکثر مقاطع به صورت ترکیبی مورد استفاده قرار می‌گیرد و با دانستن فرمول ممان اینرسی این مقطع و همچنین نحوه‌ی استفاده از قانون انتقال محورها، تقریباً می‌توان ممان اینرسی 90% مقاطع مورد استفاده در مهندسی عمران را به راحتی محاسبه نمود. با این حال، به منظور درک بهتر از نحوه‌ی استفاده از فرمول‌های موجود، در شکل زیر ممان اینرسی یک مقطع مثلث توپر به همراه یک سپری (که خود ترکیب دو مستطیل می‌باشد) در غالب یک مقطع مرکب محاسبه خواهد شد ( ممان اینرسی حول محورهای x و y مدنظر است که این دو محور بر مرکز تقارن جان مقطع منطبق می‌باشند).

در ابتدا ممان اینرسی حول محور x محاسبه خواهد شد، توجه نمایید که محور x ارتفاع جان (h_w) را قطع نموده در نتیجه این پارامتر به توان 3 خواهد رسید:

ممان اینرسی بال سپری به دلیل اینکه محور x بر محور تقارن مقطع منطبق نیست باید با توجه به قانون انتقال محورها محاسبه شود:

ممان اینرسی مقطع سپری برابر است با مجموع ممان اینرسی بال و جان:

حال ممان اینرسی مقطع مثلثی شکل محاسبه می‌شود، با توجه به جدولی که در بخش‌های گذشته نشان داده شد، ممان اینرسی مثلث حول دو محور عمود بر هم که از مرکز سطح می‌گذرند برابر است با bh³/36 که در این رابطه h ارتفاع و b هم قاعده‌ی مثلث می‌باشند و مشابه با مقاطع مستطیلی شکل، در اینجا هم محوری که ممان اینرسی حول آن مدنظر می‌باشد هر ضلعی را که قطع نماید، آن ضلع به توان 3 خواهد رسید. در اینجا محور x ارتفاع مثلث را قطع نموده، در نتیجه h به توان 3 می‌رسد. با توجه به اینکه محور x بر محور عبوری از مرکز سطح مثلث مطبق نیست، در نتیجه برای محاسبه‌ی ممان اینرسی از قانون انتقال محورها استفاده می‌نماییم:

مشاهده می‌شود که ممان اینرسی مقطع توپر تا چه حد بزرگتر از ممان اینرسی یک مقطع مانند سپری می‌باشد. لازم به ذکر است که ممان اینرسی مثلث حول محور عبوری از قاعده برابر است با bh³/ 12  . در نهایت،  ممان اینرسی مقطع مرکب برابر است با:

در ادامه ممان اینرسی این مقطع حول محور y هم محاسبه می‌شود:

ممان اینرسی کل مقطع حول محور y برابر است با:

• مطلبی میخواهید که نیست ؟ از ما بپرسید تا برایتان محتوا رایگان تولید کنیم!

• ارسال سوال برای تولید محتوا