صفحه اصلی  »  مبانی و مفاهیم عمرانی  »  محاسبه‌ ممان اینرسی مقاطع مختلف (مثلث، مستطیل، مقاطع مرکب) با استفاده از فرمول آن

محاسبه‌ ممان اینرسی مقاطع مختلف (مثلث، مستطیل، مقاطع مرکب) با استفاده از فرمول آن

محاسبه‌ ممان اینرسی چیست؟

همانطور که می دانید محاسبه‌ ممان اینرسی یا گشتاور دوم سطح یکی از محاسبات پایه ای در طراحی سازه است و به جرات می توانم بگویم اگر مقدار ممان اینرسی را به درستی محاسبه نکنید قطعا مابقی محاسبات سازه ای شما مانند محاسبه اساس مقطع و شعاع ژیراسیون را اشتباه انجام خواهید داد. ما با استفاده از یک فرمول و روش های متفاوت می توانیم ممان اینرسی مقاطع مختلف از جمله ممان اینرسی مثلث و مستطیل را بدست آوریم.

در این مقاله جامع ابتدا مفهوم ممان اینرسی را بیان می کنیم سپس بافرمول و روش های متفاوت ممان اینرسی مقاطع مختلف مانند مستطیل، مثلث و مقاطع مرکب را محاسبه می کنیم.

با مطالعه این مقاله چه می آموزیم؟

این بار بدون هزینه برنده شوید!

دریافت رایگان “3 ایبوک طراحی سازه بتنی” به همراه “هدیه ویژه”

همین الان این پک فوق‌العاده را دانلود کرده و هر زمان که فرصت داشتید، باحوصله مطالب آن را مطالعه کنید.

ممان اینرسی چیست؟

در سازه، یکی از مهم‌ترین نیروهایی که به هر عضو، مانند تیرها، وارد می‌شود ممان یا لنگر است. در نتیجه عضو باید به گونه‌ای طراحی شود که در مقابل این لنگرها مقاومت مناسبی داشته باشند. از این رو، یکی از مهم‌ترین راه‌ کارها برای طراحی اعضای خمشی، افزایش ممان اینرسی مقطع آن‌ها می‌باشد تا در مقابل خمش مقاومت نمایند.

 

محاسبه ممان اینرسی حال سؤال اصلی اینجاست که چه پارامترهایی در افزایش یا کاهش ممان اینرسی یک مقطع تأثیرگذارند؟

برای پاسخ به این سؤال، از مثال استفاده می‌نماییم:

مثال 1) دو میله‌ به طول 1 متر را در نظر بگیرید. در دو سر این میله‌ها وزنه‌هایی 5 کیلوگرمی نصب شده است، با این تفاوت که این وزنه‌ها در یکی از میله‌ها کاملاً در دو انتهای میله قرار داده شده‌اند اما در میله‌ی دیگر این دو وزنه با فاصله کمتری در مرکز میله قرار دارند. در صورتی که بخواهیم این دو میله را از وسط به کمک یک دست، حول محوری عمود بر محور میله بچرخانیم، به نظر شما چرخاندن کدام میله راحت‌تر خواهد بود؟

 

مفهوم ممان اینرسی با زبانی ساده

 

به احتمال زیاد شما هم موافق هستید که چرخاندن میله‌ی دوم راحت‌تر می‌باشد. دلیل این پدیده، با توجه به اینکه جرم هر دو میله برابر می‌باشد، تفاوت ممان اینرسی میله هاست، به‌ طوری‌که میله‌ی دوم به دلیل ممان اینرسی کمتر، مقاومت کمتری هم در مقابل چرخش از خود نشان می‌دهد.

نکته محاسبه ممان اینرسی با ذکر این مثال می‌توان فهمید که ممان اینرسی ارتباط زیادی به نحوه‌ی توزیع جرم در مقطع خواهد داشت به‌طوری‌که هر چه جرم به مرکز سطح نزدیک‌تر باشد، ممان اینرسی هم کمتر خواهد بود.

مثال 2)این پدیده را در پرش شناگران از ارتفاع هم می‌توان مشاهده کرد. در این حالت، شناگر بدن خود را طوری جمع می‌نماید که تمامی جرم بدن به مرکز آن نزدیک شده تا چرخش بدن راحت‌تر شود. در این حالت در واقع سرعت دوران بدن (ω) بیشتر خواهد بود.

ممان اینرسی چیست؟

تفاوت ممان اینرسی حالت‌های مختلف بدن شناگران در هنگام پرش

 

در برخی از اعضای سازه‌ای مانند تیرها، نیروی اصلی و حاکم بر طراحی عضو معمولاً خمش می‌باشد. در نتیجه افزایش ممان اینرسی در این اعضا اهمیت زیادی خواهد داشت. تیرهای I شکل با توجه به نکات ذکر شده، به دلیل دورتر شدن جرم از مرکز سطح (به عبارت دقیق‌تر، تار خنثی)، دارای ممان اینرسی بیشتری در مقایسه با یک مقطع مستطیل‌شکل با جرم برابر می‌باشد. همچنین، ساخت تیرهای لانه‌زنبوری هم دقیقاً با همین فلسفه، به‌ خصوص در گذشته رواج یافت تا با دورتر کردن مصالح از تار خنثی، بتوان توانایی مقطع در تحمل خمش را افزایش داد.

تبدیل تیر I شکل به مقطع لانه‌زنبوری برای تغییر ممان اینرسی

تبدیل تیر I شکل به مقطع لانه‌زنبوری

 

تار خنثی (Neutral Axis) برای هر مقطع، محوری است که در هنگام خمش، تنش خمشی بر روی آن صفر باشد یا به عبارتی، کشش و یا فشار ناشی از خمشی بر روی این محور ایجاد نشود، در نتیجه این محور تغییر‌شکل هم نمی‌دهد.

محاسبه ممان اینرسی به کمک فرمول آن

ممان اینرسی یک سطح، از حاصل‌ضرب مساحت‌ المان‌ های کوچک (dA)، در مجذور فاصله‌ی آن‌ ها تا تار خنثی (y2) به دست می‌آید.

فرمول ممان اینرسی

 

 

در شکل زیر، مشاهده می‌شود که مقطع به المان‌های کوچک تقسیم شده است. برای محاسبه‌ی ممان اینرسی کل مقطع، مساحت هر المان A، در d2 ضرب خواهد شد.

 

نحوه محاسبه‌ ممان اینرسی

تقسیم شکل به المان‌های دیفرانسیلی (کوچک) جهت محاسبه‌ ممان اینرسی

 

در ادامه، این فرمول را می‌توان در محاسبه‌ ممان اینرسی مقاطع پرکاربرد استفاده نمود. به عنوان مثال، ممان اینرسی مستطیل و ممان اینرسی مثلث در بخش بعد محاسبه شده است.

محاسبه‌ ممان اینرسی مستطیل

ممان اینرسی را می‌توان برای محورهای مختلف محاسبه نمود. در شکل زیر دو محور اصلی مقطع (محورهای x و y) نشان داده شده‌اند.

 

محاسبه ممان اینرسی مستطیل

 

برای محاسبه‌ی ممان اینرسی مستطیل حول محور x به صورت زیر عمل می‌نماییم:

 

فرمول ممان اینرسی

 

 

 

به همین ترتیب در صورتی که ممان اینرسی را حول محور y هم محاسبه نماییم این مقدار برابر با Iyy = (hb3)/12 خواهد بود. همان‌طور که مشاهده می شود بٌعد ممان اینرسی طول به توان چهار است.

محاسبه ممان اینرسی ممان اینرسی حول کدام محور بزرگ‌تر است؟

همان‌ طور که از فرمول‌های نهایی حاصل برای هر یک از محورها هم مشخص می‌باشد، به دلیل اینکه در حالت اول فاصله‌ی مصالح از محور دوران (محوری که ممان اینرسی حول آن محاسبه می‌شود) دورتر است، در نتیجه Ixx > Iyy خواهد بود. در شکل زیر هم مشاهده می‌شود برای مقطع 1 که دوران حول محور x انجام می‌شود، به دلیل بزرگ‌تر بودن ممان اینرسی، مقطع کمتر دچار تغییرشکل شده است.

 

تأثیر ممان اینرسی مقطع در تغییرشکل در اثر خمش

تأثیر ممان اینرسی مقطع در تغییرشکل در اثر خمش

 

محاسبه‌ ممان اینرسی مثلث

یکی دیگر از شکل‌های پرکاربرد که می‌توان ممان اینرسی آن را محاسبه نمود مثلث است. در ابتدا ممان اینرسی حول محوری افقی عبوری از مرکز سطح (محور c-c) محاسبه می‌شود:

 

محاسبه ممان اینرسی مثلث

 

فرمول ممان اینرسی

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

با استفاده از همین روش و انتگرال‌گیری حول محورهای مختلف می‌توان ممان اینرسی را محاسبه نمود. در ادامه ممان اینرسی حول محور عبوری از ضلع BC محاسبه شده است.

 

محاسبه ممان اینرسی مثلث با زبانی ساده

 

 

فرمول ممان اینرسی

 

 

 

ممان اینرسی حول محور عبوری از ضلع BC:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

با توجه به محاسبات فوق می‌توان به این نتیجه رسید که محاسبه‌ی ممان اینرسی حول محورهای مختلف از طریق انتگرال‌گیری چندان ساده نبوده و احتیاج به صرف وقت و دقت فراوانی می‌باشد، به همین دلیل بسیاری از مهندسین، ممان اینرسی اشکال اصلی را حول محورهای مهم آن به خاطر می‌سپارند. در جدول زیر ممان اینرسی برخی اشکال مهم حول محورهای اصلی آن‌ها قابل مشاهده است.

 

فرمول ممان اینرسی برخی اشکال مهم

محاسبه‌ ممان اینرسی به روش انتقال

همان‌طور که مشاهده شد تا به اینجا ممان اینرسی به کمک انتگرال‌گیری حول محورهای مختلف مقاطع محاسبه شد و در پایان متوجه شدیم که به دلیل زمان‌بر بودن این محاسبات بهتر است فرمول ممان اینرسی حول محورهای اصلی برای برخی اشکال را به خاطر بسپاریم. اما در بسیاری از حالات نیاز به محاسبه‌ی این پارامتر، حول سایر محورهای عبوری از مقطع هم داریم و طبیعتاً امکان به خاطر سپردن ممان اینرسی، حول تمامی محورها وجود ندارد.

در این مواقع استفاده از روش انتقال محورها بسیار مفید است. با توجه به این قانون با داشتن ممان اینرسی حول یک محور، می‌توان ممان اینرسی را حول سایر محورهایی که موازی با محور اولیه می‌باشند، محاسبه نمود. به عنوان مثال در شکل زیر، ممان اینرسی حول محورهای x و y را می‌توان بر حسب ممان اینرسی حول محورهای x0  و y0  به کمک فرمول زیر محاسبه نمود:

 

محاسبه ممان اینرسی به روش انتقال

فرمول ممان اینرسی

 

در این رابطه d فاصله‌ی دو محور موازی و A هم مساحت کل مقطع می‌باشد. به عنوان مثال در بخش قبل متوجه شدیم که ممان اینرسی مستطیل حول محور عبوری از مرکز سطح آن hb2)/12) خواهد بود. حال در شکل زیر، با توجه به قانون محورهای موازی، ممان اینرسی حول محور p به صورت زیر محاسبه می‌شود:

 

نحوه محاسبه ممان اینرسی مستطیل

 

فرمول ممان اینرسی

 

به همین صورت برای مثلث هم می‌توان، ممان اینرسی را حول قاعده، با توجه به ممان اینرسی حول محور عبوری از مرکز سطح محاسبه نمود (هر دو مقدار در بخش قبل محاسبه شده‌اند).

 

نحوه محاسبه ممان اینرسی مثلث

 

فرمول ممان اینرسی

 

 

 

نحوه محاسبه‌ ممان اینرسی به روش چرخش (دوران) محورها

گاهی اوقات ممکن است نیاز به محاسبه‌ی ممان اینرسی حول محوری داشته باشیم که موازی با هیچ یک از محورهای اصلی نباشد. در این صورت با داشتن ممان اینرسی در دو جهت عمود بر هم و با استفاده از زاویه‌ی محور مورد نظر با محورهای ذکر شده، ممان اینرسی را می‌توان محاسبه نمود.

 

نحوه محاسبه ممان اینرسی به روش چرخش (دوران) محورها

 

به عنوان مثال در شکل زیر ممان اینرسی حول محور  ′x و ′y مدنظر می‌باشد. این دو محور با محورهای x و y زاویه‌ی θ ساخته‌اند. با فرض اینکه ممان اینرسی حول محورهای x و y، به کمک فرمول‌ها و روش‌های گفته شده در بخش‌های گذشته، قابل محاسبه باشند، با استفاده از فرمول ذیل، Ix و  Iy  هم محاسبه می شوند:

 

فرمول ممان اینرسی

محاسبه‌ ممان اینرسی مقاطع  I شکل

گاهی اوقات نیاز به محاسبه‌ی ممان اینرسی مقاطع ترکیبی مانند مقطع I شکل داریم. در این شرایط می‌توان مقطع اصلی را به چند مقطع شناخته شده تقسیم نمود و ممان اینرسی هر یک از مقاطع را به صورت جداگانه، به کمک یکی از روش‌ها در بخش‌های گذشته محاسبه نمود. به عنوان مثال در اینجا مقطع I شکل از ترکیب سه مستطیل ساخته شده است، پس از محاسبه‌ی ممان اینرسی تک‌تک این مقاطع حول محور مدنظر، با ترکیب نتایج، ممان اینرسی کل مقطع به دست می‌آید. در شکل زیر ممان اینرسی یک مقطع تیرورق، حول محور x و y محاسبه خواهد شد.

 

محاسبه ممان اینرسی مقاطع مرکب

 

روش اول:

با دقت در این شکل مشخص می‌شود که مقطع از سه قسمت تشکیل شده است: دو مستطیل افقی (بال مقطع)  و یک مستطیل عمودی (جان مقطع). ممان اینرسی مستطیل عمودی با توجه به اینکه محور x از مرکز تقارن آن عبور نموده است برابر با فرمول ارائه شده در بخش اول می‌باشد. فرمول معروفی که برای محاسبه‌ی ممان اینرسی مستطیل به کار می‌رود (bh3/12) می‌باشد که پیشنهاد می‌شود حتماً به خاطر بسپارید.

همانطور که مشاهده می‌شود در این حالت، یکی از اضلاع مستطیل دارای توان 1 بوده (ضلع b) و دیگری به توان 3 می‌رسد (ضلع h). حال سؤال مهم این است که در شرایط مختلف چگونه می‌توان تصمیم گرفت که کدام ضلع دارای توان 3 و کدام یک دارای توان 1 می‌باشد؟

تصمیم‌گیری در این رابطه با توجه به محور مدنظر برای محاسبه‌ی ممان اینرسی انجام خواهد شد. به عنوان یک نکته‌ی تستی مهم، می‌توان گفت: ضلعی که دارای توان 3 می‌باشد، ضلعی است که توسط محور مدنظر برای محاسبه‌ی ممان اینرسی قطع می‌شود. به عبارت دیگر در شکل فوق، برای محاسبه‌ی ممان اینرسیِ جان مقطع حول محور x، hw باید به توان 3 برسد، زیرا توسط محور x قطع شده است:

 

فرمول ممان اینرسی مقاطع مرکب

 

 

 

ممان اینرسی مستطیل‌های افقی بالا و پایین (بال‌های مقطع) را با توجه به این‌که محور x از مرکز تقارن آنها عبور نکرده است، نمی‌توان مسقیما از فرمول (bh3/12) محاسبه نمود، اما با توجه به اینکه محور x با محور تقارن بال‌ها موازیست، می‌توان با استفاده از قانون انتقال محورها، ممان اینرسی آنها را حول محور x  محاسبه نمود که فرمول مربوط به آن در بخش‌های گذشته نشان داده شد:

 

محاسبه ممان اینرسی

 

 

در این رابطه   IXO ممان اینرسی حول محور تقارن مستطیل بوده (که با توجه به فرمول محاسبه می‌شود)  و   dx هم فاصله‌ی بین محور x در شکل بالا و محور تقارن بال می‌باشد، A هم مساحت بال می‌باشد. به دلیل تقارن مقطع حول محور x ممان اینرسی بالِ بالا و پایین برابر می‌باشد:

 

فرمول ممان اینرسی مقاطع مرکب

 

 

 

در محاسبه‌ی ممان اینرسیِ بال‌های مقطع، برخلاف جان مقطع، محور x مستقیماً یکی از اضلاع را قطع نکرده اما امتدادِ عرض بال (tf) توسط محور x قطع می‌شود، در نتیجه در محاسبه‌ی ممان اینرسی tf  به توان 3 رسیده است.

لازم به ذکر است که این توضیحات برای راحتی فرآیند محاسبات ارائه شده و در حالت کلی، محاسبه‌ی ممان اینرسی بال‌های مقطع با دو فرض زیر انجام شده:

  • بال ابتدا بر روی محور x منتقل شده و بخش اول رابطه‌ی بالا (bf tf3 / 12)نشان دهنده‌ی این فرض می‌باشد.
  • برای اینکه بتوان از فرض فوق استفاده نمود، بخش دوم رابطه‌ی بالا (bf t× (hw/2 + tf/2)2)  مورد استفاده قرار گرفته تا انتقال بال بر روی محور x به کمک قانون انتقال محورها توجیه‌پذیر باشد. در این رابطه،  (hw/2 + tf/2) نشان‌دهنده‌ی فاصله‌ی محور تقارن بال تا محور x می‌باشد.

حال، با جمع ممان اینرسی سه شکل، ممان اینرسی کل مقطع به دست می‌آید:

 

فرمول ممان اینرسی مقاطع مرکب

 

 

 

 

روش دوم:

روش دیگری که می‌توان ممان اینرسی این مقطع را محاسبه نمود در نظر گرفتن این مقطع به صورت یک مستطیل توپر می‌باشد که دو مستطیل توپر (در طرفین جان) از مقطع خارج شده است:

 

فرمول ممان اینرسی مقاطع I شکل

 

 

 

  • با توجه به نکات ذکر شده، به نظر شما مقدار ممان اینرسی حول x بزرگ‌تر خواهد بود یا حال محور y؟

برای پاسخ به این سؤال، ابتدا ممان اینرسی حول محور y هم محاسبه خواهد شد. بدین منظور شکل مقطع را 90 درجه می‌چرخانیم، توجه نمایید که محور y همچنان موازی با جان تیرورق می‌باشد:

 

روش محاسبه ممان اینرسی مقاطع I شکل

 

در این حالت هم طبیعتاً همچنان مقطع از سه بخش جداگانه تشکیل شده است با این تفاوت که این بار ممان اینرسی هر مقطع با توجه به فرمول، حول محور y محاسبه خواهد شد. برای محاسبه‌ی ممان اینرسیِ جان حول محور y دقیقاً مشابه با بخش اول عمل نموده، با این تفاوت که در این حالت محور y عرض جان (tw) را قطع نموده، در نتیجه این ضلع باید به توان 3 برسد:

 

ممان اینرسی مستطیل

 

 

 

با یک مقایسه‌ی ساده بین ممان اینرسی جان، در دو حالتی که حول محور x و y  محاسبه شدند، تفاوت قابل توجه این دو مقدار مشهود می‌شود به طوری که حول محور x مقدار آن454238.8 mm4   و حول محور y این مقدار 762.4 mm4  می‌باشد که این موضوع نشان‌دهنده‌ی تأثیر محور انتخابی بر مقدار ممان اینرسی مقطع می‌باشد. حول محور x با توجه به این‌که مصالح مقطع از محور دورتر می‌باشند، ممان اینرسی هم حول این محور بزرگ‌تر بدست آمده است. در ادامه ممان اینرسی بال‌های مقطع هم حول محور y محاسبه خواهد شد.

تفاوت بسیار مهم در محاسبه‌ی ممان اینرسی بال‌ها حول محور y با محور x در استفاده از قانون انتقال محورها می‌باشد. همانطور که مشاهده شد در حالتی که ممان اینرسی بال مقطع حول محور x محاسبه شد، به دلیل منطبق نبودن محور x بر محور تقارن بال، مجبور به استفاده از قانون انتقال محورها شدیم. اما با بررسی دقیقتر بال‌ها مشاهده می‌شود که محور y منطبق بر یکی از محورهای تقارن بوده و در نتیجه احتیاجی به استفاده از قانون انتقال محورها نخواهیم داشت، در این حالت:

 

فرمول ممان اینرسی مقاطع I شکل

 

 

 

از آنجایی که محور y، ضلع بزرگتر بال‌ها را قطع نموده، در نتیجه bf به توان 3 رسیده است. برای محاسبه‌ی ممان اینرسی کل مقطع حول محور y، ممان اینرسی جان و دو بال با یکدیگر جمع خواهند شد.

 

محاسبه ممان اینرسی

 

 

 

مشاهده می‌شود که ممان اینرسی مقطع حول محور x در حدود 11 برابر ممان اینرسی همان مقطع حول محور y می‌باشد. این پدیده اهمیت توجه به جهت بارگذاری مقاطع در سازه‌ها را نشان می‌دهد، تا مقاطع در سازه حول محوری کار گذاشته شوند که در آن جهت برای مقابله با خمش، احتیاج به ممان اینرسی بیشتری داریم.

در ابتدای این ایبوک در رابطه با شکل زیر بحث شد  اما برای بررسی بیشتر در ادامه توضیحات تکمیلی در رابطه با آن ارائه می‌شود. در این شکل در حالت شماره 2، مقطع به شکلی کار گذاشته شده که خمش ایجاد شده به واسطه‌ی حضور شخص بر روی آن توسط محور ضعیف (محوری با ممان اینرسی کوچکتر یا محور y  در مثال فوق) تحمل می‌شود. این در حالیست که با چرخاندن مقطع در حالت 1، تغییرشکل مقطع بسیار کاهش یافته است که دلیل این امر این است که در این حالت خمش توسط محور با ممان اینرسی بزرگتر (محور x در مثال فوق) تحمل می‌شود.

 

اثر خمش بر روی ممان اینرسی

تأثیر ممان اینرسی مقطع در تغییرشکل در اثر خمش

 

 

در ابتدای این ایبوک ذکر شد که ممان اینرسی، در واقع مقاومت مقطع در مقابل تغییرشکل‌های ناشی از خمش می‌باشد، در نتیجه زمانی که خمش ناشی از حضور شخص، توسط محور قوی‌تر تحمل می‌گردد (حالت 1)، تغییرشکل مقطع هم کاهش می‌یابد.

 

محاسبه‌ی ممان اینرسی مقاطع مرکب

در مهندسی عمران، مستطیل مرسوم‌ترین شکلیست که در اکثر مقاطع به صورت ترکیبی مورد استفاده قرار می‌گیرد و با دانستن فرمول ممان اینرسی این مقطع و همچنین نحوه‌ی استفاده از قانون انتقال محورها، تقریباً می‌توان ممان اینرسی 90% مقاطع مورد استفاده در مهندسی عمران را به راحتی محاسبه نمود. با این حال، به منظور درک بهتر از نحوه‌ی استفاده از فرمول‌های موجود، در شکل زیر ممان اینرسی یک مقطع مثلث توپر به همراه یک سپری (که خود ترکیب دو مستطیل می‌باشد) در غالب یک مقطع مرکب محاسبه خواهد شد ( ممان اینرسی حول محورهای x و y مدنظر است که این دو محور بر مرکز تقارن جان مقطع منطبق می‌باشند).

 

محاسبه ممان اینرسی مقاطع مرکب

 

در ابتدا ممان اینرسی حول محور x محاسبه خواهد شد، توجه نمایید که محور x ارتفاع جان (hw) را قطع نموده در نتیجه این پارامتر به توان 3 خواهد رسید:

فرمول ممان اینرسی مقاطع مرکب

 

 

 

ممان اینرسی بال سپری به دلیل اینکه محور x بر محور تقارن مقطع منطبق نیست باید با توجه به قانون انتقال محورها محاسبه شود:

 

ممان اینرسی مستطیل

 

 

ممان اینرسی مقطع سپری برابر است با مجموع ممان اینرسی بال و جان:

 

آموزش ممان اینرسی مقاطع مرکب

 

 

 

حال ممان اینرسی مقطع مثلثی شکل محاسبه می‌شود، با توجه به جدولی که در بخش‌های گذشته نشان داده شد، ممان اینرسی مثلث حول دو محور عمود بر هم که از مرکز سطح می‌گذرند برابر است با bh3/36 که در این رابطه h ارتفاع و b هم قاعده‌ی مثلث می‌باشند و مشابه با مقاطع مستطیلی شکل، در اینجا هم محوری که ممان اینرسی حول آن مدنظر می‌باشد هر ضلعی را که قطع نماید، آن ضلع به توان 3 خواهد رسید. در اینجا محور x ارتفاع مثلث را قطع نموده، در نتیجه h به توان 3 می‌رسد. با توجه به اینکه محور x بر محور عبوری از مرکز سطح مثلث مطبق نیست، در نتیجه برای محاسبه‌ی ممان اینرسی از قانون انتقال محورها استفاده می‌نماییم:

 

 

 

 

مشاهده می‌شود که ممان اینرسی مقطع توپر تا چه حد بزرگتر از ممان اینرسی یک مقطع مانند سپری می‌باشد. لازم به ذکر است که ممان اینرسی مثلث حول محور عبوری از قاعده برابر است با bh3/ 12  . در نهایت،  ممان اینرسی مقطع مرکب برابر است با:

 

محاسبه ممان اینرسی مثلث

 

 

در ادامه ممان اینرسی این مقطع حول محور y هم محاسبه می‌شود:

 

روش محاسبه ممان اینرسی مقاطع مرکب

 

روند محاسبه ممان اینرسی مقاطع مرکب

 

 

 

 

 

 

ممان اینرسی کل مقطع حول محور y برابر است با:

 

 

 

 

 

 

خرید لينک هاي دانلود

با عضویت بدون وارد کردن اطلاعات رایگان دریافت کنید.

دانلود و ذخیره فقط همین آموزش ( + عضو شوید و یا وارد شوید !)

دانلود سریع و بدون نیاز به عضویت و رایگان

پیش از همه باخبر شوید!

تعداد علاقه‌مندانی که تاکنون عضو خبرنامه ما شده‌اند: 18,596 نفر

تفاوت اصلی خبرنامه ایمیلی سبزسازه با سایر خبرنامه ها نوآورانه و بروز بودن آن است ، ما تنها تازه ترین های آموزشی ، تخفیف ها و جشنواره ها و ... مورد علاقه شما را هر هفته به ایمیل تان ارسال می کنیم

نگران نباشید، ما هم مثل شما از ایمیل های تبلیغاتی متنفریم ، خاطر شما را نخواهیم آزرد!

تولید کنندگان آموزش
با ارسال 33اُمین دیدگاه، به بهبود این محتوا کمک کنید.
نظرات کاربران
  1. زهرا روستا

    سلام خسته نباشید ممان اینرسی اگر صفر باشه چه تاثیری برروی سطح مقطع داره؟

    پاسخ دهید

  2. مهندس مرتضی قلندری (پاسخ مورد تایید سبزسازه)

    سلام، با استفاده از ممان اینرسی می توان رفتار یک تیر در برابر خمش را به دست آورد. ممان اینرسی به شکل هندسی مقطع بستگی دارد. بنابراین اگر سطح مقطع صفر باشد ممان اینرسی صفر می شود. فرض کنید ابعاد یک مقطع مستطیلی صفر باشد در این حالت مساحت مقطع صفر و ممان اینرسی مقطع که به ابعاد مقطع بستگی دارد صفر می شود.

    پاسخ دهید

  3. سلطانی

    سلام. من محاسبه ممان استرسی رو که مبلغش ۱۰۰۰ خریدم پیامش به ایمیلم اومد ولی چیزی دانلود بشد.ممنون میشم پیگیری کنید.

    پاسخ دهید

  4. مهندس مرضیه صبور (پاسخ مورد تایید سبزسازه)

    سلام مهندس
    حوالی ساعت ۲ یکبار دیگه ایمیلتون رو چک بفرمایید. قسمت اسپم رو هم حتما چک کنید.

    پاسخ دهید

  5. بابک خوشنود

    تیر بتنی داریم با مقطع دایره. مثلاً یک مغزه core که از بتن سخت شده گرفته ایم.
    انجام تست خمش C78 برای این نوع تیر آیا درست است؟ چون استانداردها همگی تیر با مقطع مستطیل را توضیح می دهند.

    پاسخ دهید

  6. مهندس سجاد شایان (پاسخ مورد تایید سبزسازه)

    سلام. معمولا هر استانداردی بر اساس فرضیاتی که در نظر میگیره نوع آزمایش ها رو هم بیان میکنه.آزمایش خمش نیز فقط روی مقاطع مستیطیلی انجام می شود به این دلیل که یکی از شرایط این آزمایش اینه که تیغه ها در تمام سطح با بتن در تماس باشند که در مقطع دایروی این شرط عملا امکان پذیر نیست.از مغزه ها صرفا در تعیین مقاومت فشاری استفاده می شود.

    پاسخ دهید

  7. مهندس مرضیه صبور (پاسخ مورد تایید سبزسازه)

    سلام مهندس
    من پیام شما رو به گروه پشتیبانی علمی سبزسازه انتقال خواهم داد و جواب رو در اسرع وقت برای شما ارسال خواهم کرد.

    پاسخ دهید

  8. Nima Namakchian

    سلام
    میشه بهم بگید از همون اول چرا y به توان دو ؟

    پاسخ دهید

  9. مهندس مرتضی قلندری (پاسخ مورد تایید سبزسازه)

    سلام
    باید برای اثبات رابطه ممان اینرسی به کتاب مرجع همانند بیر جانسون و یا کتاب مریام مراجعه کنید.

    پاسخ دهید

  10. p

    سلام خسته نباشید امکانش هست ممان اینرسی تمامی مقاطه جدار نازک رو بزارید.
    ممنونم

    پاسخ دهید

  11. مهندس مرضیه صبور (پاسخ مورد تایید سبزسازه)

    سلام مهندس
    من پیام شما رو به دوستان آموزش انتقال خواهم داد و اگر امکان این کار وجود داشته باشد حتما صورت خواهد گرفت.
    ممنون از توجه شما

    پاسخ دهید

  12. پویا مرادی

    یک سوال از اساتید محترم در مورد مقاومت مصالح داشتم البته نه بخش ممان اینرسی
    آیا وجود مفصل در تیر تاثیری بر دیاگرام برش و لنگر دارد؟ و یا فقط برای اینکه تیر معین باشه و بشه بدون نرم افزار حلش کرد تو سوالات میاد؟

    پاسخ دهید

  13. مهندس مرتضی قلندری (پاسخ مورد تایید سبزسازه)

    سلام مهندس
    جایی که مفصل بشه لنگر توش صفر هست پس صددرصد توی دیاگرام لنگر تاثیر داره.
    اینکه توی یه تیر نامعین بخای ببینی روی برش تاثیر داره یا نه وقت گیره. باید تک تک نیروهارو با روش های حل دستگاه نامعین بدست بیاری بعد دیاگرام بکشی.
    تیر معین و بخای بهش مفصل اضافه کنی ناپایدار میشه.

    پاسخ دهید

  14. حسن

    با عرض سلام و خسته نباشید مطالب توضیح داده شده در بالا گشتاور دوم سطح یا ممان دوم سطح است و با ممان اینرسی تفاوت دارد باتشکر

    پاسخ دهید

  15. مهندس بهنام حمزه تاش (پاسخ مورد تایید سبزسازه)

    با سلام
    گشتاور دوم سطح (Second Moment of area) یا ممان اینرسی (moment of inertia) با توجه به تمامی منابع معتبر به یک مفهوم به کار برده می شوند. اگر شما نظر دیگه ای دارین لطفا منبع مورد نظرتونو برای ما ارسال کنید.
    با تشکر

    پاسخ دهید

  16. مهندس مجید

    راجب ممان اینرسی خیلی جامع و خوب توضیح دادید ممنونم

    پاسخ دهید

  17. مرضیه صبور (پاسخ مورد تایید سبزسازه)

    سلام جناب مهندس
    خوشحالیم که برای شما مفید واقع شده
    اگر پیشنهادی در راستای بهتر شدن سایت دارید حتما ما رو در جریان بذارید.

    پاسخ دهید

  18. میلانی

    سلام وقتتون بخیر ممان اینرسی یک ۶ضلعی ک ضخامت داره چجوری محاسبه میشه؟

    پاسخ دهید

  19. zehtabchi@gmail.com

    سلام
    لینک های ۳ ایبوک رایگان برای طراحی سازه های بتنی ۲تاش خرابه یا تکراری هست، لطفا بررسی کنید

    پاسخ دهید

  20. سید سعید سرفرازی (پاسخ مورد تایید سبزسازه)

    سلام وقت بخیر
    مسئله برطرف شد.
    مجدد امتحان کنید.
    متشکرم

    پاسخ دهید

  21. سیدعلی

    سلام
    دانلود _ با عضویت ویژه _ مشکل داره
    امروز حتی یک مورد هم نتونستم دانلود کنم اما به اخطار ” ظرفیت تعداد دانلود روزانه شما تکمیل شده است. ” بر خوردم.

    پاسخ دهید

  22. سید سعید سرفرازی (پاسخ مورد تایید سبزسازه)

    سلام وقت بخیر
    بررسی کردم ، روی همین مورد که پنج بار درخواست دانلود ارسال شده است را میتوانید دانلود کنید؟

    پاسخ دهید

  23. morxarekabi@gmail.com

    با سلام
    جسارتاً یک اشتباهی توی متن هست.

    Iyy = (hb2)/12

    بجای عدد ۲ باید ۳ باشه. ممان حول محور Y.

    پاسخ دهید

  24. مرضیه صبور (پاسخ مورد تایید سبزسازه)

    سلام
    ممنون از توجه شما، متن اصلاح شد.

    پاسخ دهید

  25. علی

    سلام. اگر دو تیر I شکل در کنار هم قرار بگیرند ممان اینرسی آن در راستای x و y چطور محاسبه می شود.

    پاسخ دهید

  26. بهنام حمزه تاش (پاسخ مورد تایید سبزسازه)

    سلام
    دو تیر I شکل زمانی که کنار هم قرار میگیرند محورهای تقارن شکل دقیقا وسط خواهد افتاد. در این حالت محور x دقیقا مشابه با محور x حالت مقطع تکی خواهد بود و محل آن تفاوتی نخواهد کرد، (مشابه با مثالی که در متن هم موجود است) ‌در نتیجه ممان اینرسی حول محور x عینا مشابه با حالتی که در مثال هم مشاهده می شود محاسبه خواهد شد با این تفاوت که به دلیل دوبل شدن مقطع، مقدار ممان اینرسی هم حول محور x دو برابر می شود.
    اما حول محور y قضیه اندکی متفاوت بوده و این محور از وسط مقطع دوبل گذر کرده که در واقع مماس با هر دو بال مقطع های تکی می شود،‌در این حالت احتیاج به استفاده از قانون انتقال محورها داریم و ممان اینرسی یکی از مقاطع I شکل (که متشکل از سه مستطیل است) را در بالا یا پایین محور y محاسبه کرده و به دلیل تقارن مقطع دوبل حول محور y،‌ مقدار آن را دو برابر می نماییم تا ممان اینرسی مقطع دوبل بدست آید.

    پاسخ دهید

  27. محمد ش

    چطوری میشه تفاوت ممان های اینرسی رو توی درس مقاومت مصالح و طراحی اجزا متوجه شد؟

    پاسخ دهید

  28. مهندس مرضیه صبور (پاسخ مورد تایید سبزسازه)

    سلام مهندس
    اگر لطف کنید سوالتون رو واضح تر بپرسید ممنون میشیم

    پاسخ دهید

  29. اسدی

    عالی عالی عالی

    پاسخ دهید

  30. elahemohebi

    سلام با تشکر از مطالب خوبتون
    آیا با تحلیل دینامیکی یک تیر میشه به تنشهای اون رسید؟
    مساله : یک تیر با مقطع مستطیل داریم که تحت دوران قرار گرفته و با سرعت زاویه ای X میچرخد آیا میتوان تنشهای وارده به این تیر را بدست آورد؟

    پاسخ دهید

  31. بهنام حمزه تاش

    سلام،‌
    اگرچه سوالی که مطرح شده ربطی موضوع این مطلب نداره اما میشه یک پاسخ کوتاه برای این سوال ارائه کرد.
    اساسا وجود ماهیت دینامیکی یک بارگذاری باعث نمیشه که برای محاسبه ی اثرات اون حتما احتیاج به تحلیل دینامیکی داشته باشیم،‌ساده ترین مثال هم زلزله در سازه هست که علیرغم ماهیت دینامیکیش اما در ۹۰٪‌ مواقع تاثیرات اون با توجه به آنالیز استاتیکی بررسی میشه. در سوالی هم که شما مطرح کردین همین حالت میتونه وجود داشته باشه و با داشتن سرعت زاویه ای این تیر و در نظر گرفتن یکسری فرضیات منطقی و ساده کننده،‌ نیروی وارد به تیر قابل محاسبه هستش.

    پاسخ دهید

  32. hadirezaei54@yahoo.com

    باسلام قطعا اگرزودتر متوجه می شدم این بلای دانشجویی روی سرم اوار نمی شد منظورم مشروطی ….خیرببینید متشکرم.

    پاسخ دهید

؟ شهرزاد صادقی | مشاور شما :

پاسخ سوالات متداول غیر علمی خود را با کلیک روی علامت سوال بدون اتلاف زمان پیدا کنید.