صفحه اصلی  »  مقالات  »  طراحی سازه های بتنی  »  محاسبه ممان اینرسی مقاطع مختلف و پاسخ به سوال ممان اینرسی چیست؟

محاسبه ممان اینرسی مقاطع مختلف و پاسخ به سوال ممان اینرسی چیست؟

محاسبه‌ ممان اینرسی چیست؟

همانطور که می دانید محاسبه‌ ممان اینرسی یا گشتاور دوم سطح یکی از محاسبات مفهومی و پایه ای در طراحی سازه است. ما با استفاده از یک فرمول و روش های متفاوت می توانیم ممان اینرسی  مقاطع مختلف از جمله ممان اینرسی مثلث و مستطیل را بدست آوریم.

در این مقاله جامع ابتدا با بیانی ساده مفهوم ممان اینرسی را بیان می کنیم سپس به محاسبه‌ی ممان اینرسی مقاطع مختلف مانند مستطیل، مثلث و مقاطع مرکب با استفاده از دو روش انتقال و دوران می پردازیم.

 

با مطالعه این مقاله چه می‌آموزیم؟

 

در وقتتان صرفه جویی کنید!

همین الان 3 ایبوک فوق العاده بتنی را با کلیک روی اینجا به همراه یک هدیه ویژه کاملا رایگان دریافت کنید و از یادگیری لذت ببرید.

ممان اینرسی چیست؟

در سازه، یکی از مهم‌ترین نیروهایی که به هر عضو، مانند تیرها، وارد می‌شود ممان یا لنگر است.

در نتیجه عضو باید به گونه‌ای طراحی شود که در مقابل این لنگرها مقاومت مناسبی داشته باشند.

از این رو، یکی از مهم‌ترین راه‌ کارها برای طراحی اعضای خمشی، افزایش ممان اینرسی مقطع آن‌ها می‌باشد تا در مقابل خمش مقاومت نمایند.

 

محاسبه ممان اینرسی حال سؤال اصلی اینجاست که چه پارامترهایی در افزایش یا کاهش ممان اینرسی یک مقطع تأثیرگذارند؟

برای پاسخ به این سؤال، از مثال استفاده می‌نماییم:

مثال 1) دو میله‌ به طول 1 متر را در نظر بگیرید.

در دو سر این میله‌ها وزنه‌هایی 5 کیلوگرمی نصب شده است، با این تفاوت که این وزنه‌ها در یکی از میله‌ها کاملاً در دو انتهای میله قرار داده شده‌اند اما در میله‌ی دیگر این دو وزنه با فاصله کمتری در مرکز میله قرار دارند.

در صورتی که بخواهیم این دو میله را از وسط به کمک یک دست، حول محوری عمود بر محور میله بچرخانیم، به نظر شما چرخاندن کدام میله راحت‌تر خواهد بود؟

 

مفهوم ممان اینرسی با زبانی ساده

 

به احتمال زیاد شما هم موافق هستید که چرخاندن میله‌ی دوم راحت‌تر می‌باشد.

دلیل این پدیده، با توجه به اینکه جرم هر دو میله برابر می‌باشد، تفاوت ممان اینرسی میله هاست، به‌ طوری‌که میله‌ی دوم به دلیل ممان اینرسی کمتر، مقاومت کمتری هم در مقابل چرخش از خود نشان می‌دهد.

نکته محاسبه ممان اینرسی با ذکر این مثال می‌توان فهمید که ممان اینرسی ارتباط زیادی به نحوه‌ی توزیع جرم در مقطع خواهد داشت به‌طوری‌که هر چه جرم به مرکز سطح نزدیک‌تر باشد، ممان اینرسی هم کمتر خواهد بود.

مثال 2)این پدیده را در پرش شناگران از ارتفاع هم می‌توان مشاهده کرد.

در این حالت، شناگر بدن خود را طوری جمع می‌نماید که تمامی جرم بدن به مرکز آن نزدیک شده تا چرخش بدن راحت‌تر شود.

در این حالت در واقع سرعت دوران بدن (ω) بیشتر خواهد بود.

ممان اینرسی چیست؟

تفاوت ممان اینرسی حالت‌های مختلف بدن شناگران در هنگام پرش

 

در برخی از اعضای سازه‌ای مانند تیرها، نیروی اصلی و حاکم بر طراحی عضو معمولاً خمش می‌باشد.

در نتیجه افزایش ممان اینرسی در این اعضا اهمیت زیادی خواهد داشت.

تیرهای I شکل با توجه به نکات ذکر شده، به دلیل دورتر شدن جرم از مرکز سطح (به عبارت دقیق‌تر، تار خنثی)، دارای ممان اینرسی بیشتری در مقایسه با یک مقطع مستطیل‌شکل با جرم برابر می‌باشد.

همچنین، ساخت تیرهای لانه‌زنبوری هم دقیقاً با همین فلسفه، به‌ خصوص در گذشته رواج یافت تا با دورتر کردن مصالح از تار خنثی، بتوان توانایی مقطع در تحمل خمش را افزایش داد.

تبدیل تیر I شکل به مقطع لانه‌زنبوری برای تغییر ممان اینرسی

تبدیل تیر I شکل به مقطع لانه‌زنبوری

 

تار خنثی (Neutral Axis) برای هر مقطع، محوری است که در هنگام خمش، تنش خمشی بر روی آن صفر باشد یا به عبارتی، کشش و یا فشار ناشی از خمشی بر روی این محور ایجاد نشود، در نتیجه این محور تغییر‌شکل هم نمی‌دهد.

محاسبه ممان اینرسی به کمک فرمول آن

ممان اینرسی یک سطح، از حاصل‌ضرب مساحت‌ المان‌ های کوچک (dA)، در مجذور فاصله‌ی آن‌ ها تا تار خنثی (y2) به دست می‌آید.

فرمول ممان اینرسی

 

 

در شکل زیر، مشاهده می‌شود که مقطع به المان‌های کوچک تقسیم شده است.

برای محاسبه‌ی ممان اینرسی کل مقطع، مساحت هر المان A، در d2 ضرب خواهد شد.

 

نحوه محاسبه‌ ممان اینرسی

تقسیم شکل به المان‌های دیفرانسیلی (کوچک) جهت محاسبه‌ ممان اینرسی

 

در ادامه، این فرمول را می‌توان در محاسبه‌ ممان اینرسی مقاطع پرکاربرد استفاده نمود.

به عنوان مثال، ممان اینرسی مستطیل و ممان اینرسی مثلث در بخش بعد محاسبه شده است.

محاسبه‌ ممان اینرسی مستطیل

ممان اینرسی را می‌توان برای محورهای مختلف محاسبه نمود.

در شکل زیر دو محور اصلی مقطع (محورهای x و y) نشان داده شده‌اند.

 

محاسبه ممان اینرسی مستطیل

 

برای محاسبه‌ی ممان اینرسی مستطیل حول محور x به صورت زیر عمل می‌نماییم:

 

فرمول ممان اینرسی

 

 

 

به همین ترتیب در صورتی که ممان اینرسی را حول محور y هم محاسبه نماییم این مقدار برابر با Iyy = (hb3)/12 خواهد بود.

همان‌طور که مشاهده می شود بٌعد ممان اینرسی طول به توان چهار است.

محاسبه ممان اینرسی ممان اینرسی حول کدام محور بزرگ‌تر است؟

همان‌ طور که از فرمول‌های نهایی حاصل برای هر یک از محورها هم مشخص می‌باشد، به دلیل اینکه در حالت اول فاصله‌ی مصالح از محور دوران (محوری که ممان اینرسی حول آن محاسبه می‌شود) دورتر است، در نتیجه Ixx > Iyy خواهد بود.

در شکل زیر هم مشاهده می‌شود برای مقطع 1 که دوران حول محور x انجام می‌شود، به دلیل بزرگ‌تر بودن ممان اینرسی، مقطع کمتر دچار تغییرشکل شده است.

 

تأثیر ممان اینرسی مقطع در تغییرشکل در اثر خمش

تأثیر ممان اینرسی مقطع در تغییرشکل در اثر خمش

 

محاسبه‌ ممان اینرسی مثلث

یکی دیگر از شکل‌های پرکاربرد که می‌توان ممان اینرسی آن را محاسبه نمود مثلث است.

در ابتدا ممان اینرسی حول محوری افقی عبوری از مرکز سطح (محور c-c) محاسبه می‌شود:

 

محاسبه ممان اینرسی مثلث

 

فرمول ممان اینرسی

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

با استفاده از همین روش و انتگرال‌گیری حول محورهای مختلف می‌توان ممان اینرسی را محاسبه نمود.

در ادامه ممان اینرسی حول محور عبوری از ضلع BC محاسبه شده است.

 

محاسبه ممان اینرسی مثلث با زبانی ساده

 

 

فرمول ممان اینرسی

 

 

 

ممان اینرسی حول محور عبوری از ضلع BC:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

با توجه به محاسبات فوق می‌توان به این نتیجه رسید که محاسبه‌ی ممان اینرسی حول محورهای مختلف از طریق انتگرال‌گیری چندان ساده نبوده و احتیاج به صرف وقت و دقت فراوانی می‌باشد، به همین دلیل بسیاری از مهندسین، ممان اینرسی اشکال اصلی را حول محورهای مهم آن به خاطر می‌سپارند.
در جدول زیر ممان اینرسی برخی اشکال مهم حول محورهای اصلی آن‌ها قابل مشاهده است.

 

فرمول ممان اینرسی برخی اشکال مهم

محاسبه‌ ممان اینرسی به روش انتقال

همان‌طور که مشاهده شد تا به اینجا ممان اینرسی به کمک انتگرال‌گیری حول محورهای مختلف مقاطع محاسبه شد و در پایان متوجه شدیم که به دلیل زمان‌بر بودن این محاسبات بهتر است فرمول ممان اینرسی حول محورهای اصلی برای برخی اشکال را به خاطر بسپاریم.

اما در بسیاری از حالات نیاز به محاسبه‌ی این پارامتر، حول سایر محورهای عبوری از مقطع هم داریم و طبیعتاً امکان به خاطر سپردن ممان اینرسی، حول تمامی محورها وجود ندارد.

در این مواقع استفاده از روش انتقال محورها بسیار مفید است.

با توجه به این قانون با داشتن ممان اینرسی حول یک محور، می‌توان ممان اینرسی را حول سایر محورهایی که موازی با محور اولیه می‌باشند، محاسبه نمود.

به عنوان مثال در شکل زیر، ممان اینرسی حول محورهای x و y را می‌توان بر حسب ممان اینرسی حول محورهای x0  و y0  به کمک فرمول زیر محاسبه نمود:

 

محاسبه ممان اینرسی به روش انتقال

فرمول ممان اینرسی

 

در این رابطه d فاصله‌ی دو محور موازی و A هم مساحت کل مقطع می‌باشد.

به عنوان مثال در بخش قبل متوجه شدیم که ممان اینرسی مستطیل حول محور عبوری از مرکز سطح آن hb2)/12) خواهد بود.

حال در شکل زیر، با توجه به قانون محورهای موازی، ممان اینرسی حول محور p به صورت زیر محاسبه می‌شود:

 

نحوه محاسبه ممان اینرسی مستطیل

 

فرمول ممان اینرسی

 

به همین صورت برای مثلث هم می‌توان، ممان اینرسی را حول قاعده، با توجه به ممان اینرسی حول محور عبوری از مرکز سطح محاسبه نمود (هر دو مقدار در بخش قبل محاسبه شده‌اند).

 

نحوه محاسبه ممان اینرسی مثلث

 

فرمول ممان اینرسی

 

 

 

نحوه محاسبه‌ ممان اینرسی به روش چرخش (دوران) محورها

گاهی اوقات ممکن است نیاز به محاسبه‌ی ممان اینرسی حول محوری داشته باشیم که موازی با هیچ یک از محورهای اصلی نباشد.

در این صورت با داشتن ممان اینرسی در دو جهت عمود بر هم و با استفاده از زاویه‌ی محور مورد نظر با محورهای ذکر شده، ممان اینرسی را می‌توان محاسبه نمود.

 

نحوه محاسبه ممان اینرسی به روش چرخش (دوران) محورها

 

به عنوان مثال در شکل زیر ممان اینرسی حول محور  ′x و ′y مدنظر می‌باشد.

این دو محور با محورهای x و y زاویه‌ی θ ساخته‌اند.

با فرض اینکه ممان اینرسی حول محورهای x و y، به کمک فرمول‌ها و روش‌های گفته شده در بخش‌های گذشته، قابل محاسبه باشند، با استفاده از فرمول ذیل، Ix و  Iy  هم محاسبه می شوند:

 

فرمول ممان اینرسی

محاسبه‌ ممان اینرسی مقاطع مرکب

گاهی اوقات نیاز به محاسبه‌ی ممان اینرسی مقاطع مرکب مانند مقطع I شکل داریم. در این شرایط می‌توان مقطع اصلی را به چند مقطع شناخته شده تقسیم نمود و ممان اینرسی هر یک از مقاطع را به صورت جداگانه، به کمک یکی از روش‌ها در بخش‌های گذشته محاسبه نمود، سپس با ترکیب نتایج، ممان اینرسی کل مقطع را به دست آورد.

در شکل زیر ممان اینرسی یک مقطع تیر ورق، حول محور x محاسبه شده است.

 

محاسبه ممان اینرسی مقاطع مرکب

 

با دقت در این شکل مشخص می‌شود که مقطع از سه قسمت تشکیل شده است، دو مستطیل افقی و یک مستطیل عمودی.

ممان اینرسی مستطیل عمودی با توجه به اینکه محور x از مرکز سطح آن عبور نموده است برابر با فرمول ارائه شده در بخش اول می‌باشد:

 

فرمول ممان اینرسی مقاطع مرکب

 

 

 

ممان اینرسی مستطیل‌های افقی بالا و پایین، با توجه به قانون انتقال محورها محاسبه می‌شود:

 

فرمول ممان اینرسی مقاطع مرکب

 

 

 

 

حال با جمع ممان اینرسی سه شکل، ممان اینرسی کل مقطع به دست می‌آید:

 

فرمول ممان اینرسی مقاطع مرکب

 

 

 

 

با توجه به نکات ذکر شده، به نظر شما در صورتی که ممان اینرسی حول محور y هم محاسبه شود، آیا مقدار آن بزرگ‌تر از Ix خواهد بود یا کوچک‌تر؟

 

 

خرید لينک هاي دانلود

دانلود رایگان اعضای ویژه

دانلود رایگان این آموزش و ده ها آموزش تخصصی دیگر به ازای پرداخت فقط 29 هزار تومان (+ اطلاعات بیشتر)

خرید با اعتبار سایت به ازای پرداخت فقط 1 هزار تومان

دانلود و ذخیره فقط همین آموزش ( + عضو شوید و یا وارد شوید !)

دانلود سریع و بدون نیاز به عضویت به ازای پرداخت فقط 1 هزار تومان

پیش از همه باخبر شوید!

تعداد علاقه‌مندانی که تاکنون عضو خبرنامه ما شده‌اند: 11,561 نفر

تفاوت اصلی خبرنامه ایمیلی سبزسازه با سایر خبرنامه ها نوآورانه و بروز بودن آن است ، ما تنها تازه ترین های آموزشی ، تخفیف ها و جشنواره ها و ... مورد علاقه شما را هر هفته به ایمیل تان ارسال می کنیم

نگران نباشید، ما هم مثل شما از ایمیل های تبلیغاتی متنفریم ، خاطر شما را نخواهیم آزرد!

تولید کنندگان آموزش
ارسال نظرات
نظرات کاربران
  1. zehtabchi@gmail.com

    سلام
    لینک های ۳ ایبوک رایگان برای طراحی سازه های بتنی ۲تاش خرابه یا تکراری هست، لطفا بررسی کنید

    پاسخ دهید

  2. سید سعید سرفرازی

    سلام وقت بخیر
    مسئله برطرف شد.
    مجدد امتحان کنید.
    متشکرم

    پاسخ دهید

  3. سیدعلی

    سلام
    دانلود _ با عضویت ویژه _ مشکل داره
    امروز حتی یک مورد هم نتونستم دانلود کنم اما به اخطار ” ظرفیت تعداد دانلود روزانه شما تکمیل شده است. ” بر خوردم.

    پاسخ دهید

  4. سید سعید سرفرازی

    سلام وقت بخیر
    بررسی کردم ، روی همین مورد که پنج بار درخواست دانلود ارسال شده است را میتوانید دانلود کنید؟

    پاسخ دهید

  5. morxarekabi@gmail.com

    با سلام
    جسارتاً یک اشتباهی توی متن هست.

    Iyy = (hb2)/12

    بجای عدد ۲ باید ۳ باشه. ممان حول محور Y.

    پاسخ دهید

  6. مرضیه صبور

    سلام
    ممنون از توجه شما، متن اصلاح شد.

    پاسخ دهید

  7. علی

    سلام. اگر دو تیر I شکل در کنار هم قرار بگیرند ممان اینرسی آن در راستای x و y چطور محاسبه می شود.

    پاسخ دهید

  8. بهنام حمزه تاش

    سلام
    دو تیر I شکل زمانی که کنار هم قرار میگیرند محورهای تقارن شکل دقیقا وسط خواهد افتاد. در این حالت محور x دقیقا مشابه با محور x حالت مقطع تکی خواهد بود و محل آن تفاوتی نخواهد کرد، (مشابه با مثالی که در متن هم موجود است) ‌در نتیجه ممان اینرسی حول محور x عینا مشابه با حالتی که در مثال هم مشاهده می شود محاسبه خواهد شد با این تفاوت که به دلیل دوبل شدن مقطع، مقدار ممان اینرسی هم حول محور x دو برابر می شود.
    اما حول محور y قضیه اندکی متفاوت بوده و این محور از وسط مقطع دوبل گذر کرده که در واقع مماس با هر دو بال مقطع های تکی می شود،‌در این حالت احتیاج به استفاده از قانون انتقال محورها داریم و ممان اینرسی یکی از مقاطع I شکل (که متشکل از سه مستطیل است) را در بالا یا پایین محور y محاسبه کرده و به دلیل تقارن مقطع دوبل حول محور y،‌ مقدار آن را دو برابر می نماییم تا ممان اینرسی مقطع دوبل بدست آید.

    پاسخ دهید

  9. اسدی

    عالی عالی عالی

    پاسخ دهید

  10. elahemohebi

    سلام با تشکر از مطالب خوبتون
    آیا با تحلیل دینامیکی یک تیر میشه به تنشهای اون رسید؟
    مساله : یک تیر با مقطع مستطیل داریم که تحت دوران قرار گرفته و با سرعت زاویه ای X میچرخد آیا میتوان تنشهای وارده به این تیر را بدست آورد؟

    پاسخ دهید

  11. بهنام حمزه تاش

    سلام،‌
    اگرچه سوالی که مطرح شده ربطی موضوع این مطلب نداره اما میشه یک پاسخ کوتاه برای این سوال ارائه کرد.
    اساسا وجود ماهیت دینامیکی یک بارگذاری باعث نمیشه که برای محاسبه ی اثرات اون حتما احتیاج به تحلیل دینامیکی داشته باشیم،‌ساده ترین مثال هم زلزله در سازه هست که علیرغم ماهیت دینامیکیش اما در ۹۰٪‌ مواقع تاثیرات اون با توجه به آنالیز استاتیکی بررسی میشه. در سوالی هم که شما مطرح کردین همین حالت میتونه وجود داشته باشه و با داشتن سرعت زاویه ای این تیر و در نظر گرفتن یکسری فرضیات منطقی و ساده کننده،‌ نیروی وارد به تیر قابل محاسبه هستش.

    پاسخ دهید

  12. hadirezaei54@yahoo.com

    باسلام قطعا اگرزودتر متوجه می شدم این بلای دانشجویی روی سرم اوار نمی شد منظورم مشروطی ….خیرببینید متشکرم.

    پاسخ دهید

فقط کافیست ایمیلتان را وارد کنید

در کمتر از 5 ثانیه اطلاعاتتان را وارد کنید و 3 ایبوک طراحی سازه بتنی در ایتبس را به همراه هدیه ویژه آن در ایمیلتان دریافت کنید
برایم ایمیل شود
نگران نباشید ایمیل های مزاحم نمی فرستیم
close-link