تا 50% تخفیف و تا 2 میلیون تومان جایزه در پیش ثبت نام ترم پاییز سبزسازه! ثبت نام ترم پاییز
صفحه اصلی  »  دسته‌بندی نشده  »  محاسبه ممان اینرسی(Moment of Inertia): فرمول اصلی،روش انتقال و دوران محورها

محاسبه ممان اینرسی(Moment of Inertia): فرمول اصلی،روش انتقال و دوران محورها

مفهوم ممان اینرسی (Moment of Inertia) یا  گشتاور دوم سطح بسیار شبیه به مفهوم سختی می‌باشد. سختی به معنای مقاومت در برابر تغییرمکان می‌باشد و نشان می‌دهد که چه میزان نیرو لازم است تا یک جسم در جهت نیرو، تغییرمکان واحد بدهد؛ ممان اینرسی هم به نوعی بیانگر مقاومت در مقابل لنگر و چرخش‌ می‌باشد.

در این مقاله ابتدا مفهوم فیزیکی ممان اینرسی بررسی‌شده و در ادامه روش‌های مختلفی محاسبه‌ی ممان اینرسی مقاطع با اشکال متفاوت را  معرفی خواهد شد.

با مطالعه این مقاله چه می‌آموزید؟

  1. مفهوم ممان اینرسی و چند مثال مفهومی برای درک بهتر آن
  2. محاسبه‌ی ممان اینرسی به کمک فرمول اصلی آن
  3. روش انتقال و دوران محورها برای محاسبه‌ ممان اینرسی، حول محورهای مختلف مقطع
  4. روش چرخش (دوران) محورها در محاسبه ی ممان اینرسی
  5. محاسبه ممان اینرسی مقاطع مرکب

مفهوم ممان اینرسی و چند مثال مفهومی

در سازه، یکی از مهم‌ترین نیروهایی که به هر عضو، مانند تیرها، وارد می‌شود ممان یا لنگر است. در نتیجه عضو باید به گونه‌ای طراحی شود که در مقابل این لنگرها مقاومت مناسبی داشته باشند. از این رو، یکی از مهم‌ترین راه‌کارها برای طراحی اعضای خمشی، افزایش ممان اینرسی مقطع آن‌ها می‌باشد تا در مقابل خمش مقاومت نمایند.

 حال سؤال اصلی اینجاست که چه پارامترهایی در افزایش یا کاهش ممان اینرسی یک مقطع تأثیرگذارند؟

برای پاسخ به این سؤال، از یک مثال ساده استفاده می‌نماییم:

دو میله‌ به طول 1 متر را در نظر بگیرید، در دو سر این میله‌ها وزنه‌هایی 5 کیلوگرمی نصب شده است، با این تفاوت که این وزنه‌ها در یکی از میله‌ها کاملاً در دو انتهای میله قرار داده شده‌اند اما در میله‌ی دیگر این دو وزنه با فاصله کمتری در مرکز میله قرار دارند. در صورتی که بخواهیم این دو میله را از وسط به کمک یک دست، حول محوری عمود بر محور میله بچرخانیم، به نظر شما چرخاندن کدام میله راحت‌تر خواهد بود؟

مفهوم ممان اینرسی

دو میله با طول یک متر، به همراه دو وزنه در دو طرف آن

 

به احتمال زیاد شما هم موافق هستید که چرخاندن میله‌ی دوم راحت‌تر می‌باشد. دلیل این پدیده، با توجه به اینکه جرم هر دو میله برابر می‌باشد، تفاوت ممان اینرسی این دو میله است، به‌طوری‌که میله‌ی دوم به دلیل ممان اینرسی کمتر، مقاومت کمتری هم در مقابل چرخش از خود نشان می‌دهد.

با ذکر این مثال می‌توان فهمید که ممان اینرسی ارتباط زیادی به نحوه‌ی توزیع جرم در مقطع خواهد داشت به‌طوری‌که هر چه جرم به مرکز سطح نزدیک‌تر باشد، ممان اینرسی هم کمتر خواهد بود.

این مطلب را از دست ندهید :  جانمایی دیوار برشی در پلان سازه : بیان نکات کاملا کاربردی در طراحی

این پدیده را در پرش شناگران از ارتفاع هم می‌توان مشاهده کرد. در این حالت، شناگر بدن خود را طوری جمع می‌نماید که تمامی جرم بدن به مرکز آن نزدیک شده تا چرخش بدن راحت‌تر شود. در این حالت در واقع سرعت دوران بدن (ω) بیشتر خواهد بود.

بررسی ممان اینرسی

تفاوت ممان اینرسی حالت‌های مختلف بدن شناگران در هنگام پرش

 

در برخی از اعضای سازه‌ای مانند تیرها، نیروی اصلی و حاکم بر طراحی عضو معمولاً خمش می‌باشد. در نتیجه افزایش ممان اینرسی در این اعضا اهمیت زیادی خواهد داشت. تیرهای I شکل با توجه به نکات ذکر شده، به دلیل دورتر شدن جرم از مرکز سطح (به عبارت دقیق‌تر، تار خنثی)، دارای ممان اینرسی بیشتری در مقایسه با یک مقطع مستطیل‌شکل با جرم برابر می‌باشد.

همچنین، ساخت تیرهای لانه‌زنبوری هم دقیقاً با همین فلسفه، به‌خصوص در گذشته رواج یافت تا با دورتر کردن مصالح از تار خنثی، بتوان توانایی مقطع در تحمل خمش را افزایش داد.

تبدیل تیر I شکل به مقطع لانه‌زنبوری برای تغییر ممان اینرسی

تبدیل تیر I شکل به مقطع لانه‌زنبوری

 

تار خنثی (Neutral Axis) برای هر مقطع، محوری است که در هنگام خمش، تنش خمشی بر روی آن صفر باشد یا به عبارتی، کشش و یا فشار ناشی از خمشی بر روی این محور ایجاد نشود، در نتیجه این محور تغییر‌شکل هم نمی‌دهد.

محاسبه ی ممان اینرسی به کمک فرمول اصلی آن

ممان اینرسی یک سطح، از حاصل‌ضرب مساحت‌ المان‌های کوچک (dA)، در مجذور فاصله‌ی آن‌ها تا تار خنثی (y2) به دست می‌آید.

محاسبه‌ی ممان اینرسی

در شکل زیر، مشاهده می‌شود که مقطع به المان‌های کوچک تقسیم شده و برای محاسبه‌ی ممان اینرسی کل مقطع، مساحت هر المان A، در d2 ضرب خواهد شد.

محاسبه‌ی ممان اینرسی

تقسیم شکل به المان‌های دیفرانسیلی (کوچک) جهت محاسبه‌ی ممان اینرسی

 

در ادامه، این فرمول را می‌توان در محاسبه‌ ممان اینرسی مقاطع پرکاربرد استفاده نمود. به عنوان مثال، ممان اینرسی مستطیل و همچنین مثلث در بخش بعد محاسبه شده است.

محاسبه‌ی ممان اینرسی مستطیل و مثلث

ممان اینرسی را می‌توان برای محورهای مختلف محاسبه نمود. در شکل زیر دو محور اصلی مقطع (محورهای x و y) نشان داده شده‌اند.

 

محاسبه‌ی ممان اینرسی مستطیل

 

برای محاسبه‌ ممان اینرسی حول محور x به صورت زیر عمل می‌نماییم:

محاسبه‌ی ممان اینرسی مستطیل

 

 

 

به همین ترتیب در صورتی که ممان اینرسی را حول محور y هم محاسبه نماییم این مقدار برابر با Iyy = (hb2)/12 خواهد بود. همان‌طور که مشاهده می شود بٌعد ممان اینرسی طول به توان چهار است.

این مطلب را از دست ندهید :  طراحی تیر بتنی : محاسبه تعداد میلگرد طولی و عرضی تیر بتنی در قاب خمشی متوسط

با توضیحاتی که تا بدین جا ارائه شده به نظر شما ممان اینرسی حول کدام محور بزرگ‌تر است؟

همان‌طور که از فرمول‌های نهایی حاصل برای هر یک از محورها هم مشخص می‌باشد، به دلیل اینکه در حالت اول فاصله‌ی مصالح از محور دوران (محوری که ممان اینرسی حول آن محاسبه می‌شود) دورتر است، در نتیجه Ixx > Iyy خواهد بود.

در شکل زیر هم مشاهده می‌شود برای مقطع 1 که دوران حول محور x انجام می‌شود، به دلیل بزرگ‌تر بودن ممان اینرسی، مقطع کمتر دچار تغییرشکل شده است.

 

تأثیر ممان اینرسی مقطع در تغییرشکل در اثر خمش

تأثیر ممان اینرسی مقطع در تغییرشکل در اثر خمش

 

یکی دیگر از شکل‌های پرکاربرد که می‌توان ممان اینرسی آن را محاسبه نمود مثلث است. در ابتدا ممان اینرسی حول محوری افقی عبوری از مرکز سطح (محور c-c) محاسبه می‌شود:

محاسبه‌ی ممان اینرسی مثلث

 

محاسبه‌ی ممان اینرسی مثلث

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

با استفاده از همین روش و انتگرال‌گیری حول محورهای مختلف می‌توان ممان اینرسی را محاسبه نمود. در ادامه ممان اینرسی حول محور عبوری از ضلع BC محاسبه شده است.

محاسبه‌ی ممان اینرسی مثلث

محاسبه‌ی ممان اینرسی مثلث

 

ممان اینرسی حول محور عبوری از ضلع BC:

محاسبه‌ی ممان اینرسی مثلث

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

با توجه به محاسبات فوق می‌توان به این نتیجه رسید که محاسبه‌ی ممان اینرسی حول محورهای مختلف از طریق انتگرال‌گیری چندان ساده نبوده و احتیاج به صرف وقت و دقت فراوانی می‌باشد، به همین دلیل بسیاری از مهندسین، ممان اینرسی اشکال اصلی را حول محورهای مهم آن به خاطر می‌سپارند.
در جدول زیر ممان اینرسی برخی اشکال مهم حول محورهای اصلی آن‌ها قابل مشاهده است.

فرمول ممان اینرسی برخی اشکال مهم

روش انتقال محورها برای محاسبه‌ی ممان اینرسی

همان‌طور که مشاهده شد تا به اینجا ممان اینرسی به کمک انتگرال‌گیری حول محورهای مختلف مقاطع محاسبه شد و در پایان متوجه شدیم که به دلیل زمان‌بر بودن این محاسبات بهتر است فرمول ممان اینرسی حول محورهای اصلی برای برخی اشکال را به خاطر بسپاریم.

اما در بسیاری از حالات نیاز به محاسبه‌ی این پارامتر، حول سایر محورهای عبوری از مقطع هم داریم و طبیعتاً امکان به خاطر سپردن ممان اینرسی، حول تمامی محورها وجود ندارد. در این مواقع استفاده از روش انتقال محورها بسیار مفید است.

با توجه به این قانون با داشتن ممان اینرسی حول یک محور، می‌توان ممان اینرسی را حول سایر محورهایی که موازی با محور اولیه می‌باشند، محاسبه نمود. به عنوان مثال در شکل زیر، ممان اینرسی حول محورهای x و y را می‌توان بر حسب ممان اینرسی حول محورهای و   به کمک فرمول زیر محاسبه نمود:

این مطلب را از دست ندهید :  درز انقطاع : بررسی دقیق درز انقطاع در ویرایش چهارم استاندارد 2800

روش انتقال محورها برای محاسبه‌ی ممان اینرسی

روش انتقال محورها برای محاسبه‌ی ممان اینرسی

در این رابطه d فاصله‌ی دو محور موازی و A هم مساحت کل مقطع می‌باشد.

به عنوان مثال در بخش قبل متوجه شدیم که ممان اینرسی مستطیل حول محور عبوری از مرکز سطح آن hb2)/12) خواهد بود. حال در شکل زیر، با توجه به قانون محورهای موازی، ممان اینرسی حول محور p به صورت زیر محاسبه می‌شود:

روش انتقال محورها برای محاسبه‌ی ممان اینرسی

 

روش انتقال محورها برای محاسبه‌ی ممان اینرسی

به همین صورت برای مثلث هم می‌توان، ممان اینرسی را حول قاعده، با توجه به ممان اینرسی حول محور عبوری از مرکز سطح محاسبه نمود (هر دو مقدار در بخش قبل محاسبه شده‌اند).

روش انتقال محورها برای محاسبه‌ی ممان اینرسی

روش انتقال محورها برای محاسبه‌ی ممان اینرسی

روش چرخش (دوران) محورها در محاسبه‌ ممان اینرسی

گاهی اوقات ممکن است نیاز به محاسبه ی ممان اینرسی حول محوری داشته باشیم که موازی با هیچ یک از محورهای اصلی نباشد. در این صورت با داشتن ممان اینرسی در دو جهت عمود بر هم و با استفاده از زاویه‌ی محور مورد نظر با محورهای ذکر شده، ممان اینرسی را می‌توان محاسبه نمود.

 

روش چرخش (دوران) محورها در محاسبه‌ی ممان اینرسی

 

به عنوان مثال در شکل زیر ممان اینرسی حول محور  ′x و ′y مدنظر می‌باشد. این دو محور با محورهای x و y زاویه‌ی θ ساخته‌اند. با فرض اینکه ممان اینرسی حول محورهای x و y، به کمک فرمول‌ها و روش‌های گفته شده در بخش‌های گذشته، قابل محاسبه باشند، با استفاده از فرمول ذیل، Ix و  Iy  هم محاسبه می شوند:

روش چرخش (دوران) محورها محاسبه‌ ممان اینرسی

محاسبه‌ ی ممان اینرسی مقاطع مرکب

گاهی اوقات نیاز به محاسبه‌ی ممان اینرسی مقاطع ترکیبی مانند مقطع I شکل داریم. در این شرایط می‌توان مقطع اصلی را به چند مقطع شناخته شده تقسیم نمود و ممان اینرسی هر یک از مقاطع را به صورت جداگانه، به کمک یکی از روش‌ها در بخش‌های گذشته محاسبه نمود، سپس با ترکیب نتایج، ممان اینرسی کل مقطع را به دست آورد.

در شکل زیر ممان اینرسی یک مقطع تیرورق، حول محور x محاسبه شده است.

محاسبه‌ی ممان اینرسی مقاطع مرکب

 

با دقت در این شکل مشخص می‌شود که مقطع از سه قسمت تشکیل شده است، دو مستطیل افقی و یک مستطیل عمودی. ممان اینرسی مستطیل عمودی با توجه به اینکه محور x از مرکز سطح آن عبور نموده است برابر با فرمول ارائه شده در بخش اول می‌باشد:

محاسبه‌ی ممان اینرسی مقاطع مرکب

 

 

 

ممان اینرسی مستطیل‌های افقی بالا و پایین، با توجه به قانون انتقال محورها محاسبه می‌شود:

محاسبه‌ی ممان اینرسی مقاطع مرکب

حال با جمع ممان اینرسی سه شکل، ممان اینرسی کل مقطع به دست می‌آید:

محاسبه‌ی ممان اینرسی مقاطع مرکب

 

 

 

با توجه به نکات ذکر شده، به نظر شما در صورتی که ممان اینرسی حول محور y هم محاسبه شود، آیا مقدار آن بزرگ‌تر از Ix خواهد بود یا کوچک‌تر؟

 

 

این مقاله به صورت کامل در بالا قرار گرفته است. جهت حمایت از تولیدات رایگان سبزسازه می‌توانید pdf آن را از لینک زیر خریداری کنید.

رایگان !

برای اعضای ویژه

1 هزار تومان

دریافت با اعتبار سایت

مقالات مشابه
تولید کنندگان آموزش
ارسال نظرات
نظرات کاربران
  1. hadirezaei54@yahoo.com

    باسلام قطعا اگرزودتر متوجه می شدم این بلای دانشجویی روی سرم اوار نمی شد منظورم مشروطی ….خیرببینید متشکرم.

    پاسخ دهید

کمتر از 5 دقیقه تا شرکت در آزمون  فاصله دارید!
برای شرکت
سریع و رایگان
همین الان ایمیلتان را بدون Www وارد کنید!
دانلود سریع در ایمیلم
close-link
کمتر از 5 دقیقه تا دریافت این ده نکته فاصله دارید!
برای دریافت
سریع و رایگان
همین الان ایمیلتان را بدون Www وارد کنید!
دانلود سریع در ایمیلم
close-link
کمتر از 5 دقیقه تا دریافت این پکیج فاصله دارید!
برای دریافت
سریع و رایگان
همین الان ایمیلتان را بدون Www وارد کنید!
دانلود سریع در ایمیلم
close-link

Warning: call_user_func_array() expects parameter 1 to be a valid callback, function 'header_scripts' not found or invalid function name in /home/sabzsaze/public_html/wp-includes/class-wp-hook.php on line 286