صفحه اصلی  »  مبانی و مفاهیم عمرانی  »  مباحث لرزه ای  »  اثر پی دلتا در سازه: بیان مفاهیم p-delta و بررسی شاخص پایداری

اثر پی دلتا در سازه: بیان مفاهیم p-delta و بررسی شاخص پایداری

در طراحی سازه دو نوع اثر پی دلتا تعریف می شود که یکی پی-دلتای بزرگ(p-Δ) و دیگری پی- دلتای کوچک (p-δ) است و البته که این دو مفهومی متفاوت دارند.
برای محاسبه اثر پی دلتا دو راه داریم یا اینکه از روش های تقریبی 2800 استفاده کنیم که در این مقاله به آن خواهیم پرداخت و یا از نرم افزار ایتبس استفاده کنیم که در مقاله ی “اثر پی-دلتا در ایتبس” به آن پرداخته شده است اما چه زمانی میتوان از تحلیل پی- دلتا صرف نظر کرد؟
برای در نظر گرفتن اثر p-delta کوچک و بزرگ می توان از تحلیل غیر خطی سازه استفاده کرد آیا راهی برای فرار از حجم زیاد محاسبات در این روش وجود دارد؟
پاسخ این سوالات و سوال های مهم دیگر در متن مقاله مورد بررسی قرار گرفته است. برای آموزش سریع مطالب گفته شده و نکات دیگر در مورد مفهوم اثر پی دلتا حداقل یک بار ویدئو رایگان 8 دقیقه ای که در انتهای صفحه قرار دارد مشاهده کنید.

دنبال یادگیری چه موضوعی هستید؟

آشنایی اجمالی با تحلیل غیرخطی

تحلیل خطی ساده ترین نوع تحلیل می باشد که در آن فرض بر این است که :

  1. مصالح تسلیم نمی‌شوند.
  2. خصوصیاتشان ثابت می‌ ماند.
  3. معادلات تعادل بر اساس شکل اولیه‌ ی سازه (بارگذاری نشده) به دست می آیند.
    برای درک بهتر این موضوع فرض کنید که یک تیر دو سر مفصل ساده تحت بار متمرکز در وسط دهانه داریم مانند تصویر زیر؛ مقدار لنگر در وسط دهانه را میتوان در حالتی بدست آورد که تغییر شکل ها را کوچک فرض کرده ایم و معادلات تعادل را بر اساس شکل اولیه به‌ دست آوریم (تصویر ب). همچنین می توان معادلات تعادل را بر اساس شکل تغییر شکل یافته سازه به دست آورد (تصویر الف).

 

تیر دو سر ساده در حالت تحلیل خطی و غیرخطی

شکل (۱)  بررسی تیر دو سر ساده با بار متمرکز در حالت تحلیل خطی و غیرخطی

 

در تحلیل غیرخطی (تصویر الف) این فرضیات را در چند حالت می توانیم در نظر بگیریم:

  1.  فقط عوامل هندسی  را در تحلیل در نظر بگیریم و رفتار مصالح همچنان خطی باشند.(فرض تغییر شکل های کوچک را نداریم)
  2.  فقط خصوصیات مصالح را غیرخطی فرض کنیم؛ یعنی تحت بارگذاری خصوصیات مصالح تغییر کند. (عوامل هندسی دچار تغییر نمی شود.)
  3.  مصالح و هندسه، هر دو را غیرخطی در نظر بگیریم.

برای درک بهتر حالت ‌های مختلف تحلیل غیرخطی، در شکل زیر برای یک تیر دو سر ساده نمودار شماتیک نیروی p در مقابل تغییر مکان آن نقطه، برای هر حالت رسم شده است.

 

نمودار نیرو- تغییر شکل در تیر دو سر ساده

شکل (۲)- نمودار نیرو- تغییر شکل تیر دو سر ساده تحت بار متمرکز برای انواع تحلیل های غیرخطی

 

تعریف پی دلتای کوچک و بزرگ (p-δ و p-Δ)

بارهای ثقلی در ساختمانی که تحت تغییر مکان جانبی ناشی از زلزله قرار دارد، لنگر اضافه تری را نسبت به لنگرهای موجود (ناشی از بار های ثقلی و زلزله بدون در نظرگرفتن تغییر شکل سازه) تولید می­کنند که به این اثر، پی-دلتا می‌‌گویند. یعنی عامل اصلی، برای اینکه اثر P-∆ در تغییرشکل های بزرگ لحاظ شود، وجود بارثقلی است.

برای بیان بهتر و دقیق ­تر این اثر، پی- دلتا (P-Delta) را به دو بخش پی دلتای کوچک و بزرگ تقسیم می کنیم که هر کدام به صورت زیر تعریف می‌شوند:

  • پی-دلتای کوچک (p-δ ) : پی- دلتا کوچک فقط به آن قسمتی از تغییرشکل ­ها مربوط است که تغییر شکل عضو را نسبت به خط واصل دو انتهای آن در نظر می­گیرد. یعنی بارثقلی لنگر اضافه ­تری به اندازه حاصلضرب بار ثقلی در فاصله هر نقطه از خط واصل دو انتها، ایجاد می­کند. به همین دلیل معمولاً p-δ در مقادیر بزرگ تغییرمکان و یا در ستون‌ های خیلی نازک اهمیت پیدا می‌کند

 

تعریف و تفاوت دلتای کوچک و دلتای بزرگ

شکل(۳)- تعریف و تفاوت δ و Δ

 

  • پی دلتای بزرگ (p-Δ): اثر پی-دلتای بزرگ با جابجایی نسبی دو انتهای عضو ارتباط دارد. یعنی در واقع، Δ جابجایی انتهای عضو نسبت به وضعیت اولیه ی آن است. بر خلاف p-δ، این نوع پی- دلتا در آنالیز و مدلسازی غیرخطی بحرانی است، بدین معنا که با اعمال این اثر، نیروهای داخلی اعضا به مقدار قابل توجهی بیشتر می شود و به تبع آن، مقاطع بزرگ تر و سازه سنگین تر می شود.

اگر به شکل زیر که مربوط به یک طبقه، از یک قاب تحت بارهای ثقلی و جانبی است توجه کنید، درک بهتری از تفاوت تعریف و پارامترهای δ و Δ بدست خواهید آورد.

همانطور که گفته شد اثر p-δ  و p-Δ باعث ایجاد لنگر اضافه تری در سازه می شود. ممکن است این سوال پیش آید که هر یک از این اثرات چه سهمی از لنگر نهایی وارده به عضو دارند. برای یافتن پاسخ، شکل زیر را که مربوط یک ستون طره تحت بار جانبی و ثقلی است؛ در نظر بگیرید. نمودار لنگر کل وارد بر ستون، شامل سه حالت است (سهم هرکدام از عوامل در ایجاد لنگر کل (MT) به صورت جداگانه مشخص  شده است):  MEسهم ناشی از بار جانبی زلزله (وقتی تغییرشکل ها کوچک فرض شود و بار جانبی تنها عامل ایجاد کننده لنگر در این سازه باشد)، ∆-Mسهم ناشی از اثر p-Δ و M P- δ  سهم ناشی از اثر p-δ است.

 

محاسبه لنگر ایجاد شده در پای ستون ناشی از اثر پی دلتای کوچک و بزرگ در ستون

شکل (۴)- سهم لنگر هر کدام از عوامل ایجاد کننده لنگر در پای ستون

 

همانطور که گفته شد بار ثقلی روی پاسخ سازه تحت جابجایی های جانبی بزرگ تاثیر می گذارد که منجر به کاهش سختی جانبی و ظرفیت مقاومت سازه می شود. اما در ساختمان های چندطبقه متداول مقدار p-δ درمقابل p-Δ، ناچیز و قابل صرف نظر کردن است؛ زیرا همان طور که در تصویر زیر مشاهده می شود، در قاب های خمشی تغییرشکل ستون‌ ها به صورت دو انحنایی (در پایین و بالای ستون) می ‌باشد که منجر به این خواهد شد که منحنی تغییرشکل یافته­ ی ستون به خط واصل دو انتهای آن (خط چین شکل زیر) بسیار نزدیک شده که نهایتاً مقدار δ بسیار کم (در حد صفر) گردد.

 

پی دلتا کوچک در قاب ساختمانی متداول

شکل (۵)-  δ در قاب های ساختمانی متداول

 

 

 

برای درک سریع تر مطالب می توانید ویدئوی رایگان 8 دقیقه ای زیر را مشاهده نمایید که در این ویدئو موارد زیر بررسی شده است:

  1. منظور از اثر پی دلتا چیست؟
  2. اثر پی-دلتا را چطور محاسبه و اعمال کنم؟
  3. تغییر مکان نسبی هر طبقه چگونه به عنوان کنترل کننده، عمل خواهد کرد؟
  4. آیا همیشه باید اثر پی- دلتا را لحاظ کنم؟
  5. چه زمانی باید اثر پی دلتا را در سازه لحاظ کنیم؟
  6. اعمال اثر پی-دلتا مطابق پیوست سوم استاندارد 2800 چگونه انجام می شود؟

 

 

نحوه محاسبه شاخص پایداری سازه

تا به اینجای مقاله با مفاهیم پی- دلتای کوچک و بزرگ آشنا شدیم. در این بخش به چگونگی در نظر گرفتن و اعمال اثر p-Δ  در محاسبات می‌پردازیم. روش ارائه شده در استاندارد۲۸۰۰ ویرایش چهارم یک روش تقریبی است؛ اما روشی که نرم افزارهایی مثل Sap و Etabs  استفاده می‌کنند یک روش دقیق می‌باشد. در واقع این نرم افزارها بر اساس یک ماتریس سختی کاهش یافته اثر  p-Δ را بررسی می‌کنند. طبق بند 3-6  استاندارد 2800 (ویرایش چهارم)، مهندس طراح همیشه ملزم به اعمال اثر p-Δ در محاسبات نیست. به طور کلی اگر مقدار لنگرهای ثانویه کمتر از ۱۰⸓ لنگرهای اولیه باشند اثرp-Δ قابل صرف نظر کردن است و این به وسیله پارامتری به نام شاخص پایداری تعریف می‌شود که در ادامه روند محاسبه آن گفته می‌شود؛ البته روشی که در ادامه به آن پرداخته شده است طراحی دستی است و شاخص پایداری سازه در ایتبس هم مسلما تعاریف و مراحل خاص خود را دارد.

 

اثر پی دلتا(p-Δ)

شکل(۶)- لنگر ایجاد شده در پای ستون با درنظر گرفتن اثر p-Δ

 

برای محاسبه شاخص پایداری سازه، یک ستون طره ای را مانند شکل فوق در نظر بگیرید که تحت بار جانبی V و بار قائم (ثقلی) P قرار دارد. به دلیل تغییرشکل جانبی ستون، بار ثقلی لنگر اضافه تری را در پای سازه ایجاد می‌کند که مقدار این لنگر مازاد برابر است با:

 P-Δ= Mδ

این لنگر مازاد خودش را به صورت یک برش مازاد (علاوه بر برش اولیه­ ی V) نشان می دهد که مقدار آن برابر است با:

 

 

 

 

در نهایت اگر این برش مازاد ناشی از اعمال اثر p-Δ را بر برش اولیه (V) تقسیم کنیم، نسبت به دست آمده «شاخص پایداری» نامیده می‌شود که با  Ɵ نشان داده می‌شود:

 

 

 

می‌دانیم که برش به صورت یک نیروی جانبی وارد شده و منجر به ایجاد تغییرمکان جانبی می‌شود. پس برش مازاد ناشی از اعمال اثر p-Δ هم منجر به ایجاد تغییرمکان اضافه تری (علاوه بر Δ ) می شود که آن را  می‌نامیم و خواهیم داشت:

 

 

بر اساس رابطه­ ی به دست آمده در بالا، تغییر مکان نهایی مرحله دوم به صورت زیر محاسبه می شود:

2 = θ∆1 =   θ(θ∆) =   θ2

با تعمیم این رابطه در تمام مراحل، تغییر مکان هر مرحله به صورت رابطه های زیر خواهد شد:

1 = θ∆

2 = θ∆1 = θ2

3= θ∆2 = θ3

.

.

.

i = θ∆i-1  =   θi

 

با افزایش تعداد مراحل به سمت بی نهایت، تغییر مکان نهایی المان مورد نظر مطابق رابطه ی زیر قابل محاسبه است:

 

 

در رابطه فوق   یک ضریب افزایشی (مخرج کسر کوچکتر از صورت آن) است که تغییر مکان جانبی اولیه (Δ) را افزایش می دهد. به بیان دیگر این رابطه اثرp-Δ  را در افزایش تغییرمکان های خطی سازه و تبدیل آن ها به تغییرمکان های غیرخطی در نظرگرفته است. در نتیجه در صورتی که نیاز به اعمال اثرp-Δ  باشد، باید تغییر مکان، برش و لنگر هر مرحله را در مقدار    ضرب کنیم که  همان شاخص پایداری سازه است.

 

 

 ضوابط پی دلتا در استاندارد 

در استاندارد 2800 (ویرایش 4) در بند 3-6 اثر p-Δ  را معرفی کرده و با تعریف شاخص پایداری سازه، رابطه ای برای محاسبه تغییر مکان افزایش یافته با منظور کردن اثر p-Δ ارائه داده است.

 

اثر پی دلتا در استاندارد 2800

 

با توجه به بند فوق، به طور خلاصه با توجه به مقدار محاسبه شده شاخص پایداری هر طبقه(θ)، یکی از سه حالت زیر رخ می دهد:

تاثیر شاخص پایداری در پی دلتا

 

 

 

 

پس در یک جمع بندی می توان روش های اعمال اثر p-Δ در محاسبات را به دو روش تقسیم بندی کرد:

  1.  اثر نیروی ناشی از p-Δ به طور مستقیم وارد محاسبات شده و نیروهای داخلی عضو با در نظر گرفتن اثر آن محاسبه و در نهایت سازه تحلیل و طراحی می شود. این روش مستلزم انجام تحلیل غیر خطی است که در سازه های با مقیاس بزرگ، بسیار وقت گیر و هزینه بر است.
  2. می توان تحلیل خطی انجام داد و در انتها نیروهای داخلی مانند برش و لنگر در یک ضریب تشدید ضرب کرد که توضیح کامل این روش در پیوست 3 استاندارد 2800 بیان شده است.

منابع:

  1. (powel,G. H.(2010).” Modeling for structural Analysis: Behavior and Basics”(1st ed
  2. (Wilson, E. L.(2004).” Static and Dynamic Analysis of structures”(4th ed
  3. MacGurie, W. Gallagher,R. H. Ziemian, R. D.”Matrix Structural Analysis”
  4. کریم عابدی.”تحلیل ماتریسی سازه ها”
  5. استاندارد 2800 (ویرایش چهارم)

 

پیش از همه باخبر شوید!

تعداد علاقه‌مندانی که تاکنون عضو خبرنامه ما شده‌اند: 14,661 نفر

تفاوت اصلی خبرنامه ایمیلی سبزسازه با سایر خبرنامه ها نوآورانه و بروز بودن آن است ، ما تنها تازه ترین های آموزشی ، تخفیف ها و جشنواره ها و ... مورد علاقه شما را هر هفته به ایمیل تان ارسال می کنیم

نگران نباشید، ما هم مثل شما از ایمیل های تبلیغاتی متنفریم ، خاطر شما را نخواهیم آزرد!

تولید کنندگان آموزش
با ارسال اولین دیدگاه، به بهبود این محتوا کمک کنید.
؟

فقط کافیست ایمیلتان را وارد کنید

در کمتر از 5 ثانیه اطلاعاتتان را وارد کنید و 3 ایبوک طراحی سازه بتنی در ایتبس را به همراه هدیه ویژه آن در ایمیلتان دریافت کنید
برایم ایمیل شود
نگران نباشید ایمیل های مزاحم نمی فرستیم
close-link