مبانی دینامیک سازه ها؛ بررسی ارتعاش آزاد میرا و نامیرا سیستم یک درجه آزادی

آیا با مفهوم ارتعاش آزاد میرا و نامیرا  آشنایی دارید؟

حتما شما هم با شنیدن کلمه ” ارتعاش آزاد اجسام” به یاد دروس دانشگاهی افتادید اما کاربرد ارتعاش آزاد چیست؟ مبانی دینامیک سازه ها در واقع یکی از مقدمات طراحی عملکردی است و قطعا در آن کاربرد دارد.

در این مقاله جامع به آموزش رایگان مواردی مانند ارتعاش آزاد نامیرا و میرا در سیستم یک درجه آزادی، شتاب نگاشت زلزله و… با مثال های کابردی می پردازیم برای درک بهتر مطالب حتما یک بار مثال ها را خودتان بررسی کنید.

⌛ آخرین به روز رسانی: 21 اردیبهشت 1401

📕 تغییرات به روز رسانی: تکمیل مطالب قبلی و اضافه شدن سرفصل‌های جدید

1. آیا هر نیرویی باعث ارتعاش اجسام می‌شود؟

از نظر دینامیک سازه ها، به 2 علت، اجسام می‌توانند دچار ارتعاش شوند:

• هر تغییر ناگهانی که باعث تغییر شکل ناگهانی در جسم شود (یا نیرویی به‌سرعت اعمال شود و یا اینکه جسم به‌سرعت رها شود.)

کشی را به یک بادکنک پرباد ببندید و کش را داخل انگشت کنید و سپس مدام ضربه بزنید. بادکنک نوسان (رفت‌ و برگشت) می‌کند. چون شما به‌سرعت به آن نیرو وارد می‌کنید!

خط کشی را لب میز نگه‌ دارید و انتهای آن را به سمت پایین بکشید و ناگهان رها کنید. مشاهده می‌کنید که خط کش، دچار ارتعاش می‌شود. چون شما آن را به‌سرعت رها کردید!

شکل1. مفهوم نوسان

• خصوصیات فیزیکی و مصالح تشکیل‌دهنده جسم هم، در ارتعاش تأثیر دارند. گاهی اوقات، شما نیرویی را به‌ سرعت اعمال می‌کنید اما نوسانی مشاهده نمی‌کنید!

مثلاً تکه‌ی کوچکی خمیر نان را از ارتفاع دلخواه روی سینی بیندازید. مسلماً خمیر، دوباره به بالا پرتاب نمی‌شود اما اگر تیله‌ی کوچکی را از همان ارتفاع روی زمین رها کنید، ده‌ها بار بالا و پایین خواهد پرید و نوسان خواهد کرد.

شکل2. تفاوت نوسان اجسام بسته به خصوصیات فیزیکی

حال به سراغ سازه‌ها می‌رویم. به نیروهای ناگهانی و وابسته به زمان (تغییرات سریع در طول زمان دارند) که به سازه‌ ها اعمال می‌شوند، نیروهای دینامیکی و به نیروهایی که تدریجاً به سازه وارد می‌شوند و معمولاً در طول زمان، تغییر چندانی نمی‌کنند (مثل بارهای مرده)، نیروهای استاتیکی گفته می‌شود.

نیروی زلزله، نیروی باد، نیروی امواج دریا بر سازه‌های ساحلی و فراساحلی، بارهای متحرک (مثل حرکت اتومبیل از روی پل)، بار زنده‌ی حرکت افراد در طبقات (حتماً تاکنون لرزشی که حرکت افراد در سقف ایجاد می‌کند احساس کرده‌اید!) نمونه‌هایی از نیروهای دینامیکی هستند.

شکل 3. نمونه‌ بارهای وارده دینامیکی

در این مقاله در مورد ارتعاش صحبت خواهیم کرد پس نیروهای مورد بحث ما، نیروهای دینامیکی هستند.

2. ساده‌سازی و مدلسازی مسائل در دینامیک سازه ها

ابتدا یک قاب خمشی یک طبقه را که دارای اتصالات گیردار است، مطابق شکل زیر در نظر بگیرید:

شکل 4. قاب ساده یک طبقه

اکنون می‌خواهیم با تفکر مهندسی خود، این قاب را، ساده‌سازی کنیم:

• همان‌طور که می‌دانید، در ساختمان‌های متداول، بیشتر جرم هر طبقه، در کف‌ها یا سقف‌ها متمرکز شده است و جرم ستون‌ها در مقایسه با جرم سقف، قابل صرف‌نظر کردن است. پس می‌توانیم جرم این قاب را به‌صورت یک جرم متمرکز در وسط تیر بالایی در نظر بگیریم (جرم m).
• در قاب‌ها، سختی جانبی ستون‌ها بسیار بیشتر از سختی جانبی تیر در برابر نیروهای جانبی است. پس با تقریب معقولی، می‌توان از ساختی تیرها صرف نظر کرده و مجموع سختی جانبی ستون‌ها را به‌عنوان سختی قاب شکل بالا لحاظ کنیم. در این قاب فرض می‌کنیم ستون‌ها مشابه‌اند و سختی همه‌ی آنها برابر با k می‌باشد.

سختی جانبی چند نمونه از ستون‌ها با شرایط تکیه‌گاهی مختلف را (که در درس روش های تحلیل سازه‌ها با آن‌ها آشنا هستید.) می‌توانید در شکل‌های زیر مشاهده کنید:

شکل 5. سختی جانبی چند نمونه از ستون‌ها

• هنگامی‌که نیروی جانبی به قاب وارد می‌شود، باعث ایجاد تغییر شکل در قاب می‌شود. این تغییر شکل، ناشی از انرژی‌ای است که نیروی جانبی به قاب منتقل می‌کند اما همه‌ی انرژی صرف تغییرشکل قاب نمی‌شود بلکه بخشی از انرژی به دلیل تنش و اصطکاک بین اجزای مصالح تشکیل‌دهنده‌ی تیر و ستون و بخشی دیگر، به علت ایجاد اصطکاک و گرما در اتصالات به هدر می‌رود. به مجموعه عواملی که در سازه‌ها، باعث اتلاف انرژی ناشی از ارتعاش و کاهش دامنه نوسان می‌شوند، میرایی یا ویسکوزیته گفته می‌شود (میرایی c). در ادامه، بیشتر درباره میرایی صحبت خواهیم کرد.
• می‌دانیم اگر مقدار نیروی جانبی دینامیکی واردشده به طبقه (که آن را با (t)p نشان می‌دهیم)، خیلی زیاد باشد، شاهد تغییر شکل‌های بزرگی در تیر و ستون‌ها خواهیم بود؛ اما در اینجا برای سادگی محاسبات، فرض می‌کنیم نیروی واردشده، به‌اندازه‌ای است که:

اولاً: تغییر شکل‌های کوچکی در قاب ایجاد کند. چون اگر تغییر شکل‌ها بزرگ باشند، به دلیل انحناهای شدید ایجادشده در اعضا، باعث می‌شود تا نوشتن روابط تعادل پیچیده‌تر و دشوارتر باشد.

ثانیاً: قاب در محدوده الاستیک خطی باقی بماند؛ یعنی رابطه بین تنش و کرنش، خطی باشد و با برداشتن نیرو، قاب به جای اول خود برگردد. در این صورت، می‌توانیم از اصل جمع آثار قوا نیز استفاده کنیم. (یعنی اثری را که تک‌تک نیروها بر قاب اعمال می‌کنند، می‌توانیم باهم جمع کنیم تا اثر هم‌زمان اعمال آن‌ها بر قاب را به دست آوریم مثلاً تأثیر هم‌زمان باد و زلزله بر سازه)

درنتیجه، اکنون پس از فرضیات ساده کننده‌ی فوق، می‌توانیم قاب را به‌صورت شکل زیر نشان بدهیم که نیروی جانبی (p(t هم، بر آن واردشده است:

شکل 6. مدل ارتعاشی قاب یک طبقه

برای سادگی بیشتر، می‌توانیم قاب بالا را به‌صورت مدل گلوله و میله و یا به‌صورت مدل ارابه هم نمایش بدهیم تا درک بهتری داشته باشیم:

شکل 7. مدل گوی‌و‌میله و مدل ارابه

3. درجه آزادی سیستم

درجه آزادی در دینامیک سازه ها، تعداد جابه‌جایی‌های لازم و مستقل از هم، برای تعیین حرکت تمام جرم‌ها نسبت به مکان اولیه جسم است. جابه‌جایی، هم می‌تواند به‌صورت انتقالی و هم می‌تواند به‌صورت دورانی ظاهر شود.

مجدداً همان قاب یک طبقه را در نظر بگیرید:

• اگر فرض کنیم تیر و ستون‌ها، تغییر طول محوری نداشته باشند و تیر، کاملاً صلب باشد (یعنی دچار تغییر شکل خمشی و محوری نشود)، قاب، تنها می‌تواند به‌صورت افقی حرکت کند. به‌عبارت‌دیگر، تنها یک مؤلفه‌ی مستقل برای توصیف حرکت قاب نیاز داریم. (چون ستون‌ها تغییر طول محوری ندارند، پس تیر، بالا یا پایین نمی‌تواند برود و دچار خمش نیز نمی‌شود). در این صورت می‌گوییم این سازه، یک درجه آزادی دارد.

شکل 8. قاب با یک درجه آزادی

• اگر فرض کنیم تیر و ستون‌ها، تغییر طول محوری نداشته باشند اما این دفعه، تیر، کاملاً صلب نباشد، اکنون، سه درجه آزادی داریم. چون نه‌تنها قاب می‌تواند به‌صورت افقی حرکت کند، بلکه دو سر تیر هم می‌توانند دوران هم داشته باشد (توجه داشته باشید که دوران دو سر تیر، مستقل از هم هستند و ارتباطی باهم ندارند، اما جابه‌جایی افقی دو سر تیر، وابسته به هم و مساوی هم است، زیرا از تغییر طول محوری صرف‌نظر کرده بودیم) پس درمجموع سه درجه آزادی داریم.

شکل 9. قاب با سه درجه آزادی

• این بار فرض کنید تیر صلب باشد و تغییر طول‌های محوری در تیر و ستون‌ها نداشته باشیم و اتصال پای ستون‌ها به زمین، مفصلی باشد. به نظر شما، در این حالت، چند درجه آزادی داریم؟!

درسته! در این حالت، دو درجه آزادی داریم. چون علاوه بر اینکه قاب می‌تواند به‌صورت افقی حرکت کند، پای ستون‌ها نیز می‌تواند دوران داشته باشد؛ اما حتماً توجه کرده‌اید که میزان دوران پای ستون‌ها، هم‌اندازه و در یک‌جهت است. پس مستقل از هم نیستند و یکی هستند. پس این قاب، دو درجه آزادی دارد. (از تحلیل سازه به خاطر دارید که چون قاب متقارن است ولی نیروی جانبی، پادمتقارن است، می‌توانیم نصف نیروی جانبی را به یک ستون و نصف دیگر را به ستون دیگر اعمال کرد. درنتیجه شاهد تغییر شکل‌های یکسانی خواهیم بود.)

شکل 10. قاب با دو درجه آزادی

مثال‌های دیگر هم می‌توانید خودتان حل کنید. مثلاً این بار، فرض کنید که تیر کاملاً صلب باشد اما در تیر و ستون‌ها تغییر شکل‌های محوری هم داشته باشیم. در این صورت، در شرایط مشابه با مورد  1 و 3 به ترتیب، 4 درجه آزادی و 6 درجه آزادی خواهیم داشت.

نکته:

توجه داشته باشید که در حالت عمومی و کلی، هر گره (محل تلاقی تیر و ستون و یا محل اتصالات) از قاب‌های دوبعدی، 3 درجه آزادی (دو درجه انتقالی و یک درجه دورانی) و در قاب‌های سه‌بعدی، 6 درجه آزادی (سه درجه انتقالی و سه درجه دورانی) دارند.

شکل 11. درجات آزادی هر گره در حالت دو بعدی (زرد) و سه بعدی (زرد + سبز)

شکل فوق، درجات آزادی عمومی در حالت سه‌بعدی را نشان می‌دهد. در حالت دوبعدی، سه مورد از مؤلفه‌های آزادی، حضور ندارند.

تا اینجا توانستیم مسئله را ساده کرده و آن را به مدل‌های قابل درک‌تری تبدیل کنیم. در ادامه، برای شروع بحث ابتدا ساده‌ترین شکل را در نظر می‌گیریم؛ یعنی مبحث را با سیستم‌های یک درجه آزادی شروع می‌کنیم.

4. سیستم یک درجه آزادی در دینامیک سازه ها

مدل ارابه، به‌خوبی می‌تواند بیانگر یک سیستم یک درجه آزادی باشد. ارابه‌ای به جرم m که به فنری به سختی k متصل شده و تحت تأثیر نیروی افقی (p(t روی سطحی بدون اصطکاک ارتعاش می‌کند و علاوه بر آن، مکانیسم‌های مختلفی هم وجود دارد که انرژی سیستم را تلف می‌کند که آن را با میرایی c می‌شناسیم:

شکل 12. مدل یک درجه آزاد ارابه

اگر مکان جسم را با u نشان دهیم، با مشتق اول از مکان، سرعت جسم ( ̇u، که به صورت u دات خوانده می‌شود) و با مشتق دوم مکان، شتاب جسم ( ̈u، به صورت u دبل دات خوانده می‌شود) به دست می‌آید.

فرض کنید که جرم m، در حال حرکت به سمت راست است. در این حالت، نیروهایی به جسم وارد می‌شود که برخی آن را به سمت راست و برخی آن را به سمت چپ می‌کشند، حال برای آشنایی بیشتر با این نیروها و نحوه به‌دست آوردن آن‌ها ادامه مقاله را به دقت مطالعه کنید.

1.4.نیروی فنر (f_Spring) در این مدل چیست؟

نیرویی است که توسط فنر به جسم وارد شده و همیشه خلاف جهت حرکت جسم می‌باشد. مطابق قانون هوک، در سازه‌های الاستیک خطی، مقدار نیرو با جابه‌جایی جسم نسبت به مکان اولیه‌اش، متناسب است و برابر است با:

f_s=ku

2.4. نیروی میرایی (f_Damping) در سازه چیست؟

نیرویی است که باعث استهلاک انرژی در سیستم می‌شود. ثابت میرایی c، برخلاف سختی فنر، قابل مشاهده و اندازه‌گیری به‌صورت مستقیم نیست. چون سازوکارهای مختلف و نامعینی باعث ایجاد این نیرو در سازه‌ها می‌شود. (مثل: تنش و اصطکاک بین اجزای مصالح تشکیل‌دهنده تیر و ستون، اتلاف انرژی از طریق تغییر شکل‌های رفت‌وبرگشتی بین کریستال‌های فولاد و یا ترک‌های مویی در بتن، برخوردها و ضربات بین اجزای سازه‌ای با غیر سازه‌ای مثل دیوارها و پنجره‌ها، اصطکاک و اتلاف گرما در محل اتصالات فولادی و …)
آزمایش‌ها نشان می‌دهد نیروی میرایی با سرعت نسبی حرکت جسم نسبت به زمین، متناسب است و برابر است با:

̇f_D=cu

3.4. تحریک خارجی (p(t))

این تحریک، هم می‌تواند به شکل نیروی خارجی به جسم وارد شود و هم می‌تواند براثر حرکت‌های ناشی از زمین، به سازه اعمال شود.
مجموعه نیروهای فوق، باعث ایجاد شتاب مطلق (u ̈ ^total) در جسم می‌شوند. یعنی شتابی که ناظر خارج از زمین، آن را مشاهده می‌کند. این شتاب، برابر با مجموع شتاب حرکت زمین هنگام زلزله

(u ̈ _ground) و شتاب جسم تحت اثر نیرو خارجی ( ̈ u) است. یعنی:

u ̈ ^t=u ̈+u ̈_g

حالا دیاگرام جسم آزاد جسم را می‌کشیم و نیروها را روی آن نشان می‌دهیم:

شکل 13.  دیاگرام جسم آزاد

اکنون قانون دوم نیوتن را در راستای حرکت جسم می‌نویسیم:

p(t) – ku  –  cu ̇ = mu ̈ ^t = m(u ̈ + u ̈_g)→ mu ̈ + cu ̇ + ku = p(t) – mu ̈_g

رابطه فوق، حرکت جسم یک سیستم یک درجه آزادی را به‌طور کامل توصیف می‌کند. سمت چپ معادله‌ی فوق شامل تابع پاسخ و مشتقات آن‌هاست و سمت راست، شامل نیروهای اعمال‌شده به سیستم است. همان‌طور که پیداست، این رابطه‌یک معادله دیفرانسیل برحسب زمان (t) با ضرایب ثابت است (m و k و c ثابت هستند) که برای پیدا کردن پاسخ آن، باید آن را حل کنیم.

1.3.4. نحوه تحلیل و بررسی سیستم

مجدداً همان قاب یک درجه آزادی را به خاطر بیاورید. اگر ما بتوانیم تغییر شکل افقی (پاسخ) این قاب تحت تأثیر نیروهای جانبی در هرلحظه از زمان، یعنی (u(t، را به دست بیاوریم، از روی آن می‌توانیم لنگرهای ایجادشده در اعضا را محاسبه نماییم. سپس از روی آن می‌توانیم تنش اعضا را هم به دست آوریم. با محاسبه تنش، می‌توان نیروی داخلی مقاطع را پیدا کرد و در پایان، می‌توانیم اعضا را در برابر نیروی زلزله طراحی کنیم. پس فقط کافی ست تا (u(t را پیدا کنیم، بقیه موارد، خودشان، یکی‌یکی به دست می‌آیند!
گفته بودیم یک مهندس، همواره مسئله را از ساده‌ ترین شکل، شروع به تحلیل و بررسی می‌کند. حل معادله فوق در ابتدا دشوار به نظر می‌رسد، پس بیایید ابتدا از ساده‌ترین حالت آن، شروع به بررسی کنیم.

5. ارتعاش آزاد نامیرای سیستم یک درجه آزاد

منظور از ارتعاش آزاد نامیرا، ارتعاشی است که اولاً هیچ تحریک خارجی به آن اعمال نشود (یعنی p(t)=0 و u ̈ _g = 0) ثانیاً سیستم ما، میرایی نداشته باشد یعنی سازوکاری استهلاک انرژی نداشته باشیم ( یعنی c=0 )

صفر بودن میرایی، فقط یک نوع ایده‌آل‌سازی است. صفر بودن میرایی، یعنی هیچ‌گاه نوسان متوقف نمی‌شود و تا همیشه ادامه می‌یابد. مشخص است که عملاً در طبیعت نمی‌توانیم چنین سیستمی را پیدا کنیم! اما اگر میزان اتلاف انرژی خیلی ناچیز باشد، می‌توان با دقت قابل قبولی، میرایی را صفر در نظر گرفت.

با در نظر گرفتن شرایط بالا، معادله‌ی پیچیده‌ی ما به یک معادله دیفرانسیل ساده تبدیل می‌شود:

(mu ̈ + ku = 0   u(0) ,0 u ̇ (0

که (u(0 و (u ̇ (0 شرایط اولیه حرکت نامیده می‌شوند و به ترتیب، سرعت اولیه و جابه‌جایی اولیه جسم هستند. این دو داده را باید در اختیار داشته باشیم تا بتوانیم پاسخ منحصر به فرد سیستم را به دست آوریم. بدیهی است اگر این دو مورد، هم‌زمان صفر باشند، پاسخی از سیستم مشاهده نمی‌شود.
این معادله، یک معادله دیفرانسیل همگن (یعنی سمت راست معادله صفر بوده که این بدین معناست که نیروی خارجی به سیستم وارد نمی‌شود) با ضرایب ثابت است (جرم و سختی ثابت هستند) که پاسخ آن به‌صورت زیر است:

u(t) = u(0) cos(w_n t) + (u ̇ (0) /w_n) sin(w_n t)  ;  w_n = √(k/m)

اگر نمودار (u(t را رسم کنیم، به‌صورت زیر خواهد بود که در آن، (u(0 عرض از مبدأ نمودار و (u ̇ (0 شیب نمودار در لحظه‌ی t=0 است.

شکل 14.  ارتعاش آزاد سیستم نامیرا

w_n فرکانس زاویه‌ای طبیعی جسم (برحسب rad/s ) است، که آن را فرکانس زاویه‌ای طبیعی می‌نامند، چون تنها به مشخصات ذاتی سیستم یعنی جرم و سختی وابسته است. از ازآنجایی‌که هر سیستم، جرم و سختی مخصوص خودش را دارد، پس فرکانس زاویه‌ای طبیعی هر سیستم مختص به آن و از خصوصیات ذاتی سیستم محسوب می‌شود.
با استفاده از w_n ، می‌توان دوره تناوب طبیعی (T_n) و فرکانس طبیعی (F_n) سیستم را نیز به دست آورد.
دوره تناوب، مدت‌زمانی است که طول می‌کشد تا جسم، یک نوسان کامل را انجام دهد و فرکانس (بسامد)، بیانگر تعداد نوسان کاملی است که جسم در مدت‌زمان 1 ثانیه، انجام می‌دهد و واحد آن، دور بر ثانیه یا هرتز (Hz) است (منظور از نوسان کامل، یک حرکت رفت‌ و برگشتی کامل است). این دو پارامتر به صورت زیر محاسبه می‌شوند:

دامنه نوسان، که آن را با U₀ نشان می‌دهیم، همان‌طور که از شکل نمودار پیداست، بیان‌کننده بیشترین تغییر شکل سیستم از محل تعادل خود است و از رابطه‌ی زیر به دست می‌آید:

تا به اینجا، به‌صورت تئوری با ارتعاش آزاد نامیرا آشنا شدیم. اکنون بیایید یک مثال کاربردی دراین‌باره، باهم حل کنیم

مثال ارتعاش آزاد نامیرا در دینامیک سازه ها:

مطابق شکل زیر، یک ساختمان صنعتی یک طبقه به ابعاد 6*9 متر در پلان مفروض است. سیستم ساختمان در امتداد شمال جنوب به‌ صورت خمشی و در امتداد شرقی غربی به‌صورت مهاربندی است. بادبندهای امتداد شرقی غربی، از میلگرد به قطر 25 میلی‌متر ساخته‌ شده‌اند. وزن سقف 150 کیلوگرم بر مترمربع است و سقف در صفحه‌ی خود کاملاً مهارشده (درنتیجه کاملاً صلب) است. مشخصات نیمرخ ستون‌ها به‌صورت زیر است:

I_x = 3445 cm⁴                                         I_y = 760 cm⁴                                      E = 2×10⁶ kg ⁄cm²

اگر یک‌بار، سازه را 5 سانتی‌متر در جهت شمالی- جنوبی و بار دیگر به‌اندازه 10 سانتی‌متر در جهت شرقی – غربی بکشیم و سپس با سرعت 10 متر بر ثانیه، رها کنیم، معادله ارتعاش آزاد حاکم بر سازه را در هرکدام از جهت‌ها به دست آورده و آن را رسم کنید.

حل:

برای حل ابتدا باید در هرکدام از جهت‌ها، سختی جانبی و دوره تناوب طبیعی را به دست آوریم.
ابتدا باید جرم سقف را به دست بیاوریم:

ارتعاش آزاد در جهت شمالی-جنوبی:

در این جهت، دو قاب خمشی داریم که شامل 4 ستون می‌باشند. سختی هر ستون، از روابط تحلیل سازه برابر با 12EI / L³ است. درنتیجه سختی جانبی کل در این راستا برابر است با:

اکنون می‌توانیم فرکانس زاویه‌ای طبیعی در این راستا را به دست آوریم:

با توجه به اینکه در این راستا، u(0) = 0.05m و u ̇ (0)=0، می‌توانیم معادله ارتعاش آزاد را بنویسیم:

ارتعاش آزاد در جهت شرقی-غربی:

اگر از این راستا به سازه نگاه کنیم، قاب سمت چپ و قاب سمت راست، هر کدام با 2 بادبند، مهار شده‌اند که همواره، یکی در فشار و دیگری در کشش است. با توجه به اینکه بادبندهای این سازه شبیه میلگرد بوده (کابل) و بسیار لاغر هستند، تحت نیروی فشاری، فوراً کمانش کرده و درنتیجه، باری را تحمل نمی‌کنند و سختی جانبی نخواهند داشت. پس در جهت شرقی – غربی، دو بادبند کششی، در سختی جانبی مؤثر هستند.

با محاسبه‌ی زاویه‌ی بادبند با افق و در نظر گرفتن سختی محوری آن، سختی جانبی مؤثر سازه در جهت شرقی-غربی محاسبه می‌شود:

فرکانس طبیعی سیستم در جهت شرقی-غربی برابر است با:

با توجه به این‌که در این راستا، u(0) = 0.01m و u ̇ (0)=10 m⁄s، می‌توانیم معادله ارتعاش آزاد را بنویسیم:

خب!
تا به اینجا، با ارتعاش آزاد نامیرا در دینامیک سازه ها به‌طور کامل آشنا شدیم. اما اگر کمی دقت کنید بیان کردیم ارتعاش آزاد میرا و نامیرا، اکنون یک پله بالاتر می‌رویم و ارتعاش آزاد میرا را موردبررسی قرار دهیم.

6. ارتعاشات آزاد میرای سیستم یک درجه آزاد

اکنون سیستمی یک درجه آزادی را در نظر بگیرید که هیچ تحریک خارجی به آن اعمال نشود (یعنی p(t)=0 و  u ̈_g=0)، اما این‌بار سیستم، میرایی داشته یعنی سازوکاری برای استهلاک انرژی داریم که با بالا رفتن سیکل‌های نوسان، باعث کاهش دامنه می‌شود (c≠0)
در این صورت، معادله حرکت سیستم به‌صورت زیر می‌شود:

(mu ̈ + cu ̇ + ku = 0 ; u(0) ,u ̇ (0

بیایید دو طرف این معادله را بر m تقسیم کنیم:

از فرمول w_n  می‌دانیم که: ω_n² = k/m و از طرفی اگر نسبت میرانی به جرم را به صورت c/m = 2ξw_n تعریف کنیم، در این صورت می‌توانیم رابطه بالا را به شکل زیر هم بنویسیم:

(u ̈ + 2ξw_n u ̇ + w_n² u = 0  ; u(0) ,u ̇ (0

سؤال: 2ξw_n دقیقاً از کجا آمده؟! ξ چیست؟!
قبلاً تا حدودی درباره میرایی در دینامیک سازه ها صحبت کردیم؛ اما اکنون می‌خواهیم بیشتر با آن آشنا شویم. تعریف فوق را می‌توانیم به‌صورت زیر هم نشان بدهیم:

ثابت میرایی سیستم (c) در حقیقت ضریبی از میرایی بحرانی (C_cr) است. این ضریب را با ξ نشان می‌دهیم و آن را ضریب میرایی یا نسبت میرایی (Damping Ratio) می‌نامیم. ξ یک پارامتر بدون بعد است که همانند فرکانس طبیعی، از مشخصات ذاتی سیستم بوده و به جرم و سختی بستگی دارد.

ضریب میرایی را از طریق آزمایش کاهش لگاریتمی دامنه (Logarithmic Decrement) به دست می‌آورند. در این آزمایش، جسم را به‌صورت آزاد، به ارتعاش درمی‌آورند و از روی میزان کاهش دامنه نوسان پس از چند نوسان کامل، ξ را محاسبه می‌کنند.

پس از محاسبه‌ی ضریب میرایی، می‌توان میرایی سیستم را به دست آورد:

c=2mw_n ξ

آزمایش‌ها روی ساختمان‌های موجود نشان می‌دهد که ضریب میرایی اغلب ساختمان‌های متداول، بین 2 تا 7 درصد است و در سازه‌های خاص، هیچ‌گاه از 20 درصد فراتر نمی‌رود. به همین جهت، استاندارد 2800 دربند 2-5-1 ضریب میرایی برای ساختمان‌های متداول را 5 درصد لحاظ می‌کند.

تذکر مهم:
برخی از دانشجویان تصور می‌کنند که میرایی، وابسته به جرم و سختی است؛ اما این تصور درستی نیست!
همان‌طور که قبلاً گفتیم، میرایی سیستم (c) ناشی از مکانیسم‌های درونی سیستم است که ارتباطی به جرم و سختی ندارد؛ بنابراین اگر سازه، همان سازه باشد و با تغییر جرم و سختی، تغییرات بنیادین در مصالح تشکیل‌دهنده ‌یا اتصالات به وجود نیاید، میرایی تغییر چندانی نمی‌کند اما ضریب میرایی (ξ) قطعاً تغییر خواهد کرد.

اکنون به سراغ حل معادله دیفرانسیل می‌رویم:

(u ̈ + 2ξw_nu ̇ + w_n² u=0 ; u(0) , u ̇ (0

با توجه به مقدار c و C_cr؛  3 نوع جواب برای این معادله قابل‌محاسبه است:

•  اگر (C<C_cr) یا (ξ<1) باشد شرایط میرایی، زیربحرانی (Underdamped) نامیده می‌شود. در این حالت، جسم حول مرکز تعادل خود نوسان می‌کند و به علت وجود میرایی، دامنه‌اش مدام در حال کاهش است. همان‌طور که گفته شد، اغلب سازه‌های موجود اعم از ساختمان‌ها، پل‌ها، سدها، نیروگاه‌ها، سازه‌های ساحلی و …، ضریب میرایی کمتر از 20 درصد (یعنی 0.2) دارند. پس تمام آن‌ها در این دسته قرار می‌گیرند و تمرکز اصلی ما در ادامه روی همین قسمت خواهد بود.

جواب معادله در این حالت به‌صورت زیر است:

اگر (C>C_cr) یا (ξ>1) باشد شرایط میرایی، فوق بحرانی (Overdamped) نامیده می‌شود. در این حالت هیچ‌گونه نوسانی اتفاق نمی‌افتد؛ یعنی پس از رها کردن جسم، آهسته‌ آهسته از حرکت می‌ایستد و متوقف می‌شود.
حتماً تاکنون درب‌های اتوماتیک ادارات که پس از رها کردن، خود به‌ خود بسته می‌شوند، مشاهده کرده‌اید. جک‌هایی (آرام‌بند) که در این درب‌ها تعبیه شده، درست در شرایط میرایی فوق بحرانی قرار دارند!

شکل 15.  آرام بند با میرایی فوق بحرانی

جواب معادله در این حالت، یک تابع نمایی نزولی به فرم زیر است:

• اگر (C=C_cr) یا (ξ=1) باشد شرایط میرایی، بحرانی (Critically Damped) نامیده می‌شود. چنین شرایطی عملاً وجود ندارد. میرایی بحرانی، درواقع مرز بین نوسان کردن یا نکردن جسم است؛ یعنی اگر میرایی اندکی از میرایی بحرانی کمتر باشد، نوسان می‌کند و اگر اندکی بیشتر باشد، نوسان نمی‌کند.
  جواب معادله در این حالت، یک تابع نمایی نزولی به فرم زیر است:

u(t) = {u(0) + [u ̇ (0) + w_n u(0)] t } e^{-ωn t}

در شکل زیر، می‌توانید به‌خوبی تفاوت این سه حالت را درک کنید:

شکل 16.  مقایسه پاسخ‌های مختلف سیستم میرا

7. بررسی شکل ارتعاش آزاد سازه‌های متداول

گفته شد که تمام سازه‌هایی که مهندسان عمران با آن‌ها سروکار دارند، همگی ξ<0.2 دارند و درنتیجه، نیروی دینامیکی وارد بر آن‌ها، باعث ارتعاش در آن‌ها می‌شود.
شکل ارتعاش آزاد میرای یک قاب یک درجه آزادی به‌صورت زیر است:

شکل 17.  ارتعاش آزاد سیستم میرا

همان‌طور که مشاهده می‌شود دامنه نوسان مدام کاهش می‌یابد و درنهایت به صفر می‌رسد.

T_D،دوره تناوب در حالت میرا است و به‌صورت زیر با T_n ارتباط دارد:

اما ازآنجا که تقریباً در تمام ساختمان‌های متداول، ξ<0.2 است،پس خواهیم داشت:

√(1-ξ² )≅1

درنتیجه، عملاً T_D با T_n تفاوتی ندارد و با خیال راحت، در ساختمان‌های متداول می‌توانیم آن‌ها را مساوی در نظر بگیریم. پس:

T_D≅T_n

در نمودار زیر، می‌توانید این موضوع را مشاهده کنید. یکی از نمودارها مربوط به نوسان میرا و دیگری مربوط به نوسان نامیراست:

شکل 18.  مقایسه دوره تناوب در حالت میرا و نامیرا

منحنی خط‌چین در شکل بالا، تابعی نمایی است که نحوه‌ی کاهش دامنه را در نوسان میرا نشان می‌دهد که در آن، ρ مطابق رابطه‌ی زیر است:

8. چگونه میرایی را اندازه‌گیری می‌کنند؟!

همان‌طور که قبلاً اشاره شد، ضریب میرایی را از طریق آزمایش کاهش لگاریتمی دامنه (Logarithmic Decrement) به دست می‌آورند. در این آزمایش، جسم یا سازه را به‌صورت آزاد، به ارتعاش درمی‌آورند و از روی میزان کاهش دامنه نوسان پس از چند نوسان کامل، ξ را محاسبه می‌کنند.

اکنون‌که با نحوه ارتعاش سیستم‌های میرا آشنا شدیم، می‌خواهیم به‌صورت تئوری با این آزمایش نیز، آشنا شویم:
فرض کنید در یک آزمایش ارتعاش آزاد، از زمان t_m  تا t_{m+n ؛} n تا نوسان اتفاق افتاده است. دامنه در زمان t_m برابر با u_m و در زمان t_m+n برابر با u_m+n است:

شکل 19.  کاهش دامنه در نوسان میرا

به‌سادگی با استفاده از رابطه‌ی نوسان میرا و جایگزین کردن t_{m و}  t_m+n در رابطه و تقسیم آن‌ها بر یکدیگر و درنهایت لگاریتم گرفتن از طرفین، می‌توان فرمول کاربردی زیر را استخراج کرد:

این رابطه برای ساختمان‌های متداول که ضریب میرایی کوچکی دارند (کمتر از 20 درصد) قابل‌استفاده است.

پس از محاسبه‌ی ضریب میرایی، می‌توانیم میرایی سیستم را به دست آوریم:

هرچه میرایی بیشتر باشد، میزان کاهش دامنه بیشتر است و سیستم زودتر متوقف می‌شود. برای درک بیشتر، به شکل‌های زیر توجه کنید:

شکل 20.  مقایسه تأثیر ضریب میرایی در سرعت اتلاف انرژی

مثال:
همان مثال قبلی که یک ساختمان صنعتی بود را در نظر بگیرید. این بار فرض کنید که استهلاک انرژی در نوسان داشته باشیم. می‌خواهیم این ثابت میرایی را به دست بیاوریم. آزمایش کاهش دامنه، نشان می‌دهند وقتی این قاب را در هر دو جهت، ارتعاش آزاد می‌دهیم:

در راستای شمالی جنوبی: دامنه اولین نوسان، 3 سانتی‌متر و دامنه پنجمین نوسان، 1 سانتی‌متر می‌شود.
در راستای شرقی غربی: دامنه اولین نوسان، 2 سانتی‌متر و دامنه چهارمین نوسان، 1 سانتی‌متر می‌شود.
در هر دو حالت، ضریب میرایی (ξ) و ثابت میرایی (c) را به دست آورید.

حل:

در راستای شمالی جنوبی داریم:

در راستای شرقی غربی داریم:

9. انرژی در ارتعاش آزاد

از فیزیک دبیرستان به یاد دارید که انرژی کل موجود در سیستم برابر با مجموع انرژی جنبشی ( E_K = 1/2 mv²) و انرژی پتانسیل(E_s = 1/2 kx²) است.طبق قانون بقای انرژی، انرژی به وجود نمی‌آید و از بین نمی‌رود بلکه تنها از نوعی به نوع دیگر تبدیل می‌شود.در ارتعاش هم، این قانون و این روابط صادق هستند.
کل انرژی اولیه ‌یک سیستم ارتعاش آزادبر اساس دینامیک سازه ها، به‌صورت زیر قابل‌محاسبه است:

برای محاسبه انرژی در هرلحظه از زمان، کافی است که (u(t و (u ̇ (t را در رابطه‌ی بالا جایگزین کنیم:

الف) در ارتعاش نامیرا:

اکنون این دو مقدار را در فرمول انرژی جایگذاری می‌کنیم:

در ارتعاش نامیرا، چون انرژی مستهلک نمی‌شود، پس انتظار داریم انرژی کل در تمام لحظات، با انرژی اولیه برابر باشد

با به توان رساندن عبارت‌ها و استفاده از رابطه‌ی مثلثاتی sin² + cos² = 1، می‌توانیم فرمول بالا را ساده کنیم و به فرمول زیر برسیم:

یعنی درواقع عملاً نشان دادیم که واقعاً همین‌طور است! یعنی در ارتعاش آزاد نامیرا، انرژی سیستم تلف نمی‌شود و در هرلحظه، برابر با انرژی اولیه داده‌شده است.

ب) در ارتعاش آزاد میرا:

ارتعاش میرا هم مانند ارتعاش نامیرا، با جایگذاری (u(t و (u ̇ (t در فرمول انرژی می‌توانیم انرژی در هرلحظه را به دست آوریم.انرژی اولیه هم، دقیقاً مشابه انرژی اولیه در حالت نامیراست:

اما نکته‌ای که در اینجا وجود دارد، وجود نیروی میرایی است که باعث اتلاف انرژی می‌شود E_D(t).
می‌دانیم ارتعاش نامیرادر دینامیک سازه ها، پس از گذشت زمان، به علت اتلاف انرژی، متوقف می‌شود. پس با یک دید مفهومی به قانون بقای انرژی، می‌توان گفت: مجموع انرژی‌های تلف‌شده ناشی از میرایی، از زمان t=0 تا t=∞ برابر با همان انرژی کل اولیه است.
شما درصورتی‌که به انتگرال‌گیری مسلط باشید، می‌توانید با محاسبه انتگرال زیر، این موضوع را اثبات کنید:

خب!
تا اینجا، به‌طور کامل با ارتعاش آزاد تک درجه آزادی آشنا شدیم؛ اما همیشه ارتعاش به‌صورت آزاد نیست. بلکه در اغلب موارد، یا نیرویی خارجی وجود دارد و یا اینکه حرکت جانبی زمین هنگام زلزله باعث ارتعاش سازه می‌شود.

در این مقاله، قصد نداریم به‌طور کامل، به ارتعاش سازه تحت نیروهای جانبی یا زلزله بپردازیم اما قصد داریم مختصراً به نکات مهمی در این مورد، اشاره‌کنیم و مطالب کاربردی‌تری و اجرایی‌تری صحبت کنیم.

10. مدل‌سازی ارتعاشی ساختمان‌های چندطبقه

همان‌طور که قبلاً اشاره شد، بیشتر جرم طبقات در سقف‌ها، تجمع دارد. ازآنجاکه در اغلب موارد، سقف‌ها صلب در نظر گرفته می‌شوند و در ETABS نیز معمولاً با این فرض، تحلیل و طراحی انجام می‌شود، چون هر طبقه، جرم، سختی و میرایی خودش را دارد، بنابراین می‌توانیم یک قاب n طبقه را مطابق شکل زیر نمایش دهیم:

شکل 21.  مدل ارتعاشی یک قاب n طبقه

مطابق فرضیات ساده کننده‌ای که قبلاً در مورد آن‌ها صحبت شد، هر طبقه تنها می‌تواند حرکت افقی (به چپ یا به راست) داشته باشد. پس یک قاب n طبقه، n درجه آزادی هم دارد.

به نظر شما، یک قاب خمشی سه‌بعدی چند درجه آزادی دارد؟!

برای پاسخ به این سؤال، شکل زیر را در نظر بگیرید:

شکل 22. توصیف درجات آزادی در مدل سه بعدی

در یک قاب یک طبقه سه‌بعدی با سقف صلب، هم حرکت انتقالی در جهت x و y و هم حرکت پیچشی حول محور z داریم؛ یعنی درمجموع 3 درجه آزادی داریم. پس می‌توانیم این نتیجه را نیز بگیریم که یک مدل سه‌بعدی n طبقه، تعداد 3n درجه آزادی خواهد داشت.

11. آشنایی با مود های ارتعاشی در دینامیک سازه ها

قاب‌های چندطبقه چگونه ارتعاش می‌کنند؟

در قاب‌های چندطبقه، برای شروع ارتعاش آزاد، می‌توانیم به هر طبقه، جابه‌جایی اولیه و سرعت اولیه دلخواه بدهیم و آنگاه سازه را رها کنیم. به نظر شما در این حالت سازه چگونه نوسان خواهد کرد؟ آیا مانند قاب یک طبقه، طبقه‌هایش، به‌صورت سینوسی (هارمونیک) نوسان می‌کنند؟

پاسخ این است که در قاب‌های چندطبقه، همیشه تمام طبقات، نوسان سینوسی ندارند اما می‌توان ثابت کرد که برای هر قاب با توجه به سختی و جرم طبقات، جابه‌جایی‌های اولیه‌ی مخصوصی برای هر طبقه وجود دارد که اگر پس از اعمال آن جابه‌جایی‌ها، قاب را رها کنیم، تمام طبقات، ارتعاش سینوسی خواهند داشت و آن را با (q(t نشان می‌دهند. به هرکدام از این جابه‌جایی‌های اولیه ویژه، مود ارتعاشی می‌گویند.

و اما چند نکته مهم درباره مود های ارتعاشی:

• ثابت می‌شود یک سازه با n درجه آزادی، n مود ارتعاشی دارد. به‌ عنوان‌ مثال، قاب 2 طبقه و قاب 3 طبقه، به ترتیب، 2 مود و 3 مود ارتعاشی دارند.
• اگر جابه‌جایی‌های اولیه دلخواه به سازه بدهیم، ثابت می‌شود که شکل ارتعاش هر طبقه، به‌صورت ترکیبی خطی از تمام مود های ارتعاشی است؛ یعنی در هر جابه‌جایی، سهم مشخصی از هر مود دخالت دارد یعنی پاسخ هر طبقه در هرلحظه از زمان، از تمام مودهای آن طبقه اثر می‌پذیرد. شکل‌های زیر به درک بهتر شما کمک می‌کنند:

شکل 23.  مود های ارتعاشی قاب دوطبقه

(u₁ (t) = A₁ q₁ (t) + B₁ q₂ (t
(u₂ (t) = A₂ q₁ (t) + B₂ q₂ (t

شکل 24.  مود های ارتعاشی قاب سه‌طبقه

(u₁ (t) = A₁ q₁ (t) + B₁ q₂ (t) + C₁ q₃ (t

(u₂ (t) = A₂ q₁ (t) + B₂ q₂ (t) + C₃ q₃ (t

(u₃ (t) = A₃ q₁ (t) + B₃ q₂ (t) + C₃ q₃ (t

• هر مود ارتعاشی، دوره تناوب طبیعی خودش را دارد که متفاوت با سایر مودهاست. مود اول، بیشترین دوره تناوب را دارد و هرچه به مود های بالاتر می‌رویم، دوره تناوبشان، کمتر می‌شود.

12. زلزله چگونه باعث ارتعاش سازه‌ها می‌شود؟

پاسخ به این سؤال، بسیار راحت است. معادله دیفرانسیل کلی ارتعاش سیستم‌های یک درجه آزادی در دینامیک سازه ها را به یادآورید:

mu ̈ + cu ̇ + ku = p(t) – mu ̈_g

اگر فرض کنیم که فقط زلزله بیاید و نیروی خارجی دیگری اعمال نشود (p(t)=0)، در این صورت معادله دیفرانسیل به شکل زیر تبدیل می‌شود:

mu ̈ + cu ̇ + ku = -mu ̈_g

mu ̈_g- طبق قانون دوم نیوتن، از جنس نیرو است، چون جرم در شتاب ضرب شده است (F=ma). در این حالت می‌توان این‌گونه فرض کرد که زمین ثابت است و به هر طبقه، نیرویی به‌صورت mu ̈_g- اعمال می‌شود. نیروی  mu ̈_g- ، یک نیروی اینرسی است.

جالب است بدانید که نیروی اینرسی، نیرویی است که به خاطر عدم تمایل اجسام به جابه‌جایی در آن‌ها ایجاد می‌شود. وقتی زلزله می‌آید و زمین حرکت می‌کند، تمام طبقات به خاطر جرمشان، تنبل می‌شوند! و تمایلی به حرکت ندارند اما به خاطر، شتابی که به آن‌ها از طرف زمین وارد می‌شود، تحت نیرو قرار می‌گیرند.

برای درک بهتر، به شکل زیر توجه کنید:

شکل 25.  تأثیر شتاب حرکت زمین در ایجاد نیرو در طبقات هنگام زلزله

پس برای تحلیل ارتعاش ساختمان تحت اثر زلزله، باید شتاب زلزله یعنی (u ̈_g (t را داشته باشیم. برای این کار از شتاب‌نگارها استفاده می‌کنند که در ادامه با این دستگاه بیشتر آشنا می شویم.

13. شتاب‌نگارها (seismograph)

شتاب‌نگار، دستگاهی دیجیتالی است که می‌تواند هنگام زلزله، شتاب زلزله را در جهت‌های مختلف ثبت کند. (x و y در جهت افقی و z در جهت قائم )

شکل 26.  شتاب ساختمان در جهت‌های x و y و z

به نتایجی که شتاب‌نگارها ثبت می‌کنند، شتاب‌نگاشت (تاریخچه زمانیِ شتاب) می‌گویند. به بیشترین مقدار شتابی هم که یک شتاب‌نگاشت ثبت می‌کند، (PGA (Peak Ground Acceleration می‌گویند که فاکتور مهمی در طراحی لرزه‌ای ساختمان‌ها محسوب می‌شود.

با یک‌بار انتگرال‌گیری از نمودار شتاب، می‌توان نمودار سرعت و با انتگرال‌گیری از نمودار سرعت، می‌توان نمودار تغییر مکان را به دست آورد. حداکثر مقدار سرعت را با (PGV) و حداکثر مقدار تغییر مکان را با (PGD) نشان می‌دهند.

در شکل زیر، شتاب‌نگاشت، سرعت نگاشت و جابه جایی نگاشت زلزله‌ی سر پل ذهاب کرمانشاه در 21 آبان ماه 1396 را در سه جهت مشاهده می‌کنید.

(L-component) مربوط به مؤلفه‌ی شمالی جنوبی، (T-component) مربوط به مؤلفه شرقی غربی و (V-component) مربوط به مؤلفه‌ی قائم زلزله است. PGA ها برحسب سانتی‌متر بر مجذور ثانیه هستند.

شکل 27. تاریخچه زمانی شتاب رکورد ثبت شده در ایستگاه سرپل ذهاب در حدود 39 کیلومتری

شکل 28. تاریخچه زمانی سرعت در ایستگاه سر پل ذهاب در حدود 39 کیلومتری

شکل 29. تاریخچه زمانی تغییر مکان در ایستگاه سر پل ذهاب در حدود 39 کیلومتری

در شکل زیر دستگاه شتاب‌نگار ایستگاه سرپل ذهاب را می‌توانید مشاهده کنید:

شکل 30.  ایستگاه شتابنگاری سرپل ذهاب

نرم‌افزارهای طراحی ساختمان مانند ETABS، می‌توانند شتاب‌نگاشت‌های مختلف را دریافت کنند و آن را به مدل اعمال کنند تا نیروها و تغییر شکل‌های مدل را جهت طراحی به دست آورند.

منابع

1. (Dynamics Of Structure (by ANIL K. CHOPRA
2. شبکه شتاب‌نگاری زلزله کشور
3. کتاب دینامیک سازه‌ها دکتر خسرو برگی

• مطلبی میخواهید که نیست ؟ از ما بپرسید تا برایتان محتوا رایگان تولید کنیم!

• ارسال سوال برای تولید محتوا